Całka podwójna, potrójna

[ariadna]

Czy może mi ktoś wytłumaczyć, dlaczego

1) Jeśli mamy policzyć
\(\displaystyle{ I=\int_{V} (y^{2}+z^{2}) dV}\)
gdzie V jest obszarem domkniętnym mającym kształt ostrosłupa ograniczonego płaszczyznami współrzędnych oraz płaszczyzną \(\displaystyle{ x+y+z=1}\)
to liczymy:

\(\displaystyle{ I=\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1-x} \int\limits_{0}^{1-x-y}(y^{2}+z^{2})dzdydx}\)
??
Policzyć umiem, ale skąd się takie granice biorą?

2)
Podobnie,
\(\displaystyle{ I=\int_{S} xy^{2} dS}\)
gdzie S to obszar ograniczony parabolą \(\displaystyle{ y=x^{2}}\) i prostą \(\displaystyle{ y=2x}\), gdzie liczymy tak:
\(\displaystyle{ I=\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{x^{2}}^{2x}xy^{2}dydx}\)
lub
\(\displaystyle{ I=\int\limits_{0}^{4}\int\limits_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{y}}xy^{2}dydx}\)

Proszę o wyjaśnienie dla blondynki

[scyth]

to są rzutowania

jak narysujesz to można myśleć w ten sposób (dolna granica - górna granica):
x się zmienia od 0 do 1 to
y się zmienia od 0 do 1-x to
z się zmienia od 0 do 1-x-y

2)

x się zmienia od 0 do 2 to
y się zmienia od 2x do x^2

albo jak popatrzymy pod innym kątem to:
y się zmienia od 0 do 4 to
x się zmienia od \(\displaystyle{ \frac{y}{2}}\) do \(\displaystyle{ \sqrt{y}}\)

[ariadna]

scyth, dzięki za chęci, ale nadal nie widzę tego;)

[scyth]

no to może tak:

1) rzutujemy wszystko na oś x - wtedy widzimy, że nasz obszar jest ograniczony przez x=0 i x=1
2) rzutujemy teraz na plaszczyzne xy. Wtedy równanie prostej powstałej z rzutowania plaszczyzny to x+y=1, czyli y=1-x, zatem y zmieni się od 0 do 1-x
3) no to teraz mamy, że z=1-x-y a druga granica to z=0

a w drugim:
1) punkty przecięcia są w x=0 i x=2, zatem na osi x obszar siedzi od 0 do 2 na osi x
2) dolna granica tego obszaru to parabola x^2, a górna 2x i to są granice całkowania

jaśniej chyba nie umiem

ps. rysunek pomaga

[ariadna]

No ja już prawie, prawie łapię;)

Czy może ktoś jeszcze jakieś słowo komentarza?

[luka52]

No to może ja coś napiszę

Odnośnie punktu pierwszego:
Osobiście radziłbym Ci granice całkowania wyznaczać w następujący sposób:
Skoro obszar ograniczony jest przez płaszczyzny współrzędnych, to z na pewno będzie się zmieniać od 0 do "iluśtam". To "ileśtam" wyliczamy z równania x+y+z=1 (ponieważ jest to r. płaszczyzny "domykające" obszar). Czyli mamy z od 0 do 1-x-y.
Teraz y - tutaj również zmienna zacznie zmieniać się od 0, gdyż rzutem na płaszczyzne OXY naszego początkowego obszaru jest obszar ograniczony osiami współrzędnych (OX i OY) oraz prostą x+y=1 (po prostu w równaniu x+y+z=1 przyjmujemy z=0). Stąd y będzie się zmieniać od 0 do 1-x
Analogicznie postępujemy przy ustalaniu granic po x - od 0 do 1.

Ustalanie granic w drugą stronę niż to zrobił scyth, ale być może okaże się dla Ciebie pomocne.