znajdź a i b

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
K4rol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 301
Rejestracja: 18 cze 2007, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Elbląg
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 7 razy

znajdź a i b

Post autor: K4rol » 1 sie 2007, o 11:48

znajdź a i b wiedząc że suma liczby a i potrojonej liczby b jest równa 36 a ich iloczyn jest największy z możliwych.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

znajdź a i b

Post autor: scyth » 1 sie 2007, o 11:55

Zakładamy, że a i b są naturalne (czy słusznie? tak jest najprościej ).

\(\displaystyle{ a+3b=36}\)
\(\displaystyle{ a=3(12-b)}\)
zatem \(\displaystyle{ a=3k}\), gdzie k jest też naturalne.
Z tego \(\displaystyle{ k+b=12}\) i \(\displaystyle{ kb=max}\).
stąd \(\displaystyle{ k=b=6}\) i \(\displaystyle{ a=18}\).

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

znajdź a i b

Post autor: setch » 1 sie 2007, o 11:56

Czemu zakladasz, ze a i b są naturalne?

Awatar użytkownika
ariadna
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2702
Rejestracja: 22 maja 2005, o 22:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Olsztyn/Berlin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 642 razy

znajdź a i b

Post autor: ariadna » 1 sie 2007, o 11:57

Wiemy, że:
\(\displaystyle{ a+3b=36}\)
czyli
\(\displaystyle{ a=36-3b}\)
Iloczyn
\(\displaystyle{ ab}\)
\(\displaystyle{ S(b)=(36-3b)b}\)
I wystarczy znaleźć maksimum tej funkcji.

Awatar użytkownika
Plant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 331
Rejestracja: 16 sty 2006, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziadz/Warszawa
Pomógł: 70 razy

znajdź a i b

Post autor: Plant » 1 sie 2007, o 11:59

\(\displaystyle{ a+3b=36}\)
\(\displaystyle{ a=36-3b}\)

Iloczyn przedstawię funkcją f, (Df=R).
\(\displaystyle{ f(b)=b*(36-3b)}\)
\(\displaystyle{ f(b)=-3b^2+36b}\)
\(\displaystyle{ f'(b)=-6b+36=-(b-6)}\)
Maksimum lokalne funkcji (i zarazem jej wartość największa) jest dla b=6.
b=6, czyli a=18, a największy możliwy iloczyn to 108.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

znajdź a i b

Post autor: scyth » 1 sie 2007, o 12:00

w zasadzie to nie trzeba nic zakładać o a i b, sam nie wiem czemu (może chciałem uprościć rachunki ) tak czy siak jest to 18 i 6.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

znajdź a i b

Post autor: max » 1 sie 2007, o 13:34

Można też trochę inaczej:
z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a + 3b}{2} qslant \sqrt{a\cdot 3b}\\
108 qslant ab}\)

Przy czym równość zachodzi wtw, gdy \(\displaystyle{ a = 3b}\)
stąd \(\displaystyle{ a = 18, \ b = 6}\)

Ewentualnie można znaleźć pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji podanej przez ariadnę.

ODPOWIEDZ