Zadania: Figury płaskie - trapez

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
furiii
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 1 sie 2007, o 10:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Zadania: Figury płaskie - trapez

Post autor: furiii » 1 sie 2007, o 10:43

Witam, mam problem z dwoma zadaniami. Nie moge sobie z nimi poradzic. Prosze o pomoc.

Tresci zadan:

Zadanie 1
Promien okregu ma dlugosc 25 cm, zas dwie rownolegle cieciwy dlugosc 14 cm i 40 cm. Oblicz odleglosc miedzy tymi cieciwami.

Zadanie 2
W trapezie równoramiennym ramie ma dlugosc 7cm, zas przekatna 8cm. Oblicz dlugosc podstaw trapezu wiedzac, ze odcinek laczacy srodki ramion ma dlugosc 4 cm.

Bardzo prosze o pomoc/rozwiazanie z wytlumaczeniem tych zadan. Z gory dziekuje i pozdrawiam!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Plant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 331
Rejestracja: 16 sty 2006, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziadz/Warszawa
Pomógł: 70 razy

Zadania: Figury płaskie - trapez

Post autor: Plant » 1 sie 2007, o 11:20

zad 1.
r - odległość krótszej cięciwy od środka okręgu,
R - odległość dłuższej cięciwy od środka okręgu.

Układam dwa równania:
\(\displaystyle{ 7^2+r^2=25^2}\), 7 - połowa długości cięciwy
\(\displaystyle{ 20^2+R^2=25^2}\), analogicznie. Zakładając, że obie wielkości muszą być nieujemne, wychodzi:
\(\displaystyle{ r=24 R=15}\)

Cięciwy mogą leżeć obie na jednym półokręgu, bądź na różnych, czyli odległości wynoszą r-R oraz r+R. Narysuj to sobie i będziesz wszystko widział.

bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

Zadania: Figury płaskie - trapez

Post autor: bullay » 1 sie 2007, o 11:38

Oznaczasz sobie podstawy a i b. Poniewaz odcinek laczacy srodki ramion ma dlugosc 4 cm to \(\displaystyle{ a+b=8}\)

Ukladasz sobie dwa rownanie korzystajac z tw. cosinusow:
\(\displaystyle{ 8^{2}=7^{2}+b^{2}-2*7*b*cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ 8^{2}=7^{2}+a^{2}-2*7*a*cos(180-\alpha)}\)

Z tych dwoch rownan liczysz a i b i podstawiasz do tego, ze \(\displaystyle{ a+b=8}\)

Awatar użytkownika
Plant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 331
Rejestracja: 16 sty 2006, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziadz/Warszawa
Pomógł: 70 razy

Zadania: Figury płaskie - trapez

Post autor: Plant » 1 sie 2007, o 11:44



Rozpiszmy dwa równania dotyczące wysokości:
\(\displaystyle{ h^2=8^2-x^2}\)
\(\displaystyle{ h^2=7^2-y^2}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ 64-x^2=49-y^2}\)
\(\displaystyle{ x^2-y^2=15 (x+y)(x-y)=15}\)

Ale wiemy, że odcinek łączący środki ramion ma długość 4. Jest to średnia arytmetyczna długości podstaw. Oznaczmy a=x+y (podstawa dolna) i b=x-y (podstawa górna).

\(\displaystyle{ (x+y)(x-y)=15 \frac{(x+y)+(x-y)}{2}=4}\)
\(\displaystyle{ a*b=15 a+b=8}\)
\(\displaystyle{ b=8-a}\)
\(\displaystyle{ a*(8-a)=15 \\ -a^2+8a-15=0 \\ a=3 (b=5) a=5 (b=3)}\)

Podstawy mają długości 3 i 5.

furiii
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 1 sie 2007, o 10:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Zadania: Figury płaskie - trapez

Post autor: furiii » 7 sie 2007, o 10:32

Dziekuje za pomoc! Pozdrawiam

ODPOWIEDZ