Funkcja mająca dwa punkty wspólne z okręgiem

Zagadnienia dot. funkcji liniowych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI 1. stopnia. Układy równań i nierówności liniowych.
Awatar użytkownika
Sokół
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 451
Rejestracja: 17 wrz 2006, o 19:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 55 razy

Funkcja mająca dwa punkty wspólne z okręgiem

Post autor: Sokół » 31 lip 2007, o 15:32

Dla jakich wartości m wykres funkcji y=x+m ma dwa wspólne punkty z okręgiem o promieniu 1 (J), którego środkiem jest początek układu współrzędnych?

Najpierw oczywiście narysowałem sobie dwie styczne. rozwiązałem opierając się na tym, że kiedy a=1 (y=ax+b), to funkcja przecina oś X pod kątem 45'. Powstał trójkąt prostokątny równoramienny o kątach 90',45' i 45'.
jak na rysunku:
[img]http://img103.imageshack.us/img103/5466/wykresqj4.th.png[/img]

r=1, więc wykres funkcji przecina oś y w punkcie \(\displaystyle{ P=(0,\sqrt{2})}\). A że każda funkcja przecina oś y w punkcie (0,b), to wiem, że jedna styczna musi mieć wzór \(\displaystyle{ y=x+\sqrt{2}}\).

Wzór drugiej ustaliłem tak samo, wyszło, że druga ma wzór \(\displaystyle{ y=x-\sqrt{2}}\)
Stąd \(\displaystyle{ -\sqrt{2} }\)

Jednak to wszystko dzięki temu, że znałem kąt, pod którym te funkcje przecinają oś X. Można to jakoś zrobić innym sposobem?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3506
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1260 razy

Funkcja mająca dwa punkty wspólne z okręgiem

Post autor: wb » 31 lip 2007, o 15:59

Możesz rozwiązać układ z parametrem;

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} y=x+m\\x^2+y^2=1 \end{array}}\)

który daje równanie kwadratowe z parametrem m:
\(\displaystyle{ x^2+(x+m)^2=1}\)

By spełnione były warunki zadania :
\(\displaystyle{ \Delta >0}\)
co daje to samo rozwiązanie.

Awatar użytkownika
Sokół
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 451
Rejestracja: 17 wrz 2006, o 19:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 55 razy

Funkcja mająca dwa punkty wspólne z okręgiem

Post autor: Sokół » 31 lip 2007, o 16:20

czy \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\) jest z równania okręgu? 1 to promień, a x czy y to co to by było? (tzn. w odniesieniu do tego właśnie okręgu - jakiś promień dzielony przez coś, średnica razy coś, itd.)

wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3506
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1260 razy

Funkcja mająca dwa punkty wspólne z okręgiem

Post autor: wb » 31 lip 2007, o 16:30

Tak, jest to równanie okręgu o promieniu r=1, zaś x oraz y są to współrzędne punktów leżących na okręgu.

Awatar użytkownika
Sokół
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 451
Rejestracja: 17 wrz 2006, o 19:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zielona Góra
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 55 razy

Funkcja mająca dwa punkty wspólne z okręgiem

Post autor: Sokół » 31 lip 2007, o 16:49

okej, już rozumiem, współrzędne punktu styczności spełniają warunek \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} y=x+m\\x^2+y^2=1 \end{array}}\). W pierwszej chwili nie wiedziałem dlaczego możemy te dwa równania w układ zrobić. Dziękuję

ODPOWIEDZ