Funkcje odwrotne

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
Awatar użytkownika
Kamila
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 16 lip 2006, o 13:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 53 razy

Funkcje odwrotne

Post autor: Kamila » 30 lip 2007, o 18:51

Podaj wzór funkcji odwrotnej do funkcji \(\displaystyle{ f}\):
a)\(\displaystyle{ f(x)=1-\frac{x}{2x+1}}\)
b)\(\displaystyle{ f(x)=3x-|x|}\)
c)\(\displaystyle{ f(x)=\frac{2x}{3-x}}\)
d)\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} x-2(dla x\in\langle0,3))\\2x (dla x\in(3,5))\end{cases}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6483
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Funkcje odwrotne

Post autor: mol_ksiazkowy » 30 lip 2007, o 19:19

a(
a)\(\displaystyle{ f(x)=1-\frac{x}{2x+1}}\)
\(\displaystyle{ y=1-\frac{x}{2x+1}}\)

\(\displaystyle{ x=\frac{1-y}{2y-1}}\)

f odwrotna \(\displaystyle{ y=\frac{1-x}{2x-1}}\)





b)\(\displaystyle{ f(x)=3x-|x|}\)
f odwrotna
d)\(\displaystyle{ y=\begin{cases} \frac{1}{4}x(dla \ x q 0)\end{cases}}\)

Awatar użytkownika
Doktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 4 lis 2006, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Kolno
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 3 razy

Funkcje odwrotne

Post autor: Doktor » 30 lip 2007, o 20:13

b nie ma funkcji odwrotnej bo nie jest to funkcja różnowartościowa, a i nie pamietam czy nie ma jakiegoś warunku na dziedzinę zaraz musze popatrzeć bo matematyki nie dotykałem od matury :p

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

Funkcje odwrotne

Post autor: setch » 30 lip 2007, o 20:20

c)
\(\displaystyle{ y=\frac{2x}{3-x}\\
2yx=3-x\\
2yx+x=3\\
x(2y+1)=3\\
x=\frac{3}{2y+1}\\
f(x)^{-1}=\frac{3}{2y+1}}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Funkcje odwrotne

Post autor: max » 30 lip 2007, o 20:30

Doktor pisze:b nie ma funkcji odwrotnej bo nie jest to funkcja różnowartościowa
Jednak jest różnowartościowa.
\(\displaystyle{ 3x - |x| = \begin{cases}2x, \ x qslant 0 \\ 4x, \ x < 0\end{cases}}\)

d) \(\displaystyle{ f^{-1}(x) = egin{cases}x + 2,, x [-2, 1)\ frac{1}{2}x, , xin (6, 10)end{cases}}\)

btw. dział raczej nie ten...

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 558
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 170 razy

Funkcje odwrotne

Post autor: JHN » 30 lip 2007, o 20:57

\(\displaystyle{ a)\quad y=f(x)=1-\frac{x}{2x+1}\\
\textrm{ Poniewaz funkcja f odwzorowuje } D=R \setminus ft\{{1\over2}\right\} \\
\textrm { wzajemnie jednoznacznie (róznowartosciowo) na }D^{-1}=R\setminus\left\{{1\over2}\right\}\\
\textrm{ to istnieje funkcja odwrotna } f^{-1} \textrm{ taka, ze }\\\\
x=1-\frac{y}{2y+1}\\\\
2xy+x=2y+1-y\\\\
(2x-1)y=-x+1\\\\
y=f^{-1}(x)=\frac{-x+1}{2x-1}\\\\
\textrm{b) }y=f(x)=3x-|x|=\left\{\begin{array}{lcl}4x&\Leftarrow& x}\)

Awatar użytkownika
Doktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 4 lis 2006, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Kolno
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 3 razy

Funkcje odwrotne

Post autor: Doktor » 31 lip 2007, o 09:02

a jak jest z dzieniną funkcji odwrotnej w c) ?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Funkcje odwrotne

Post autor: max » 31 lip 2007, o 11:58

Co do c), to setch pomylił się przy mnożeniu:
\(\displaystyle{ y = \frac{2x}{3 - x}\\
y(3 - x) = 2x\\
3y = 2x + xy\\
x = \frac{3y}{y + 2}\\
f^{-1}(x) = \frac{3x}{x+2}}\)

Dziedziną funkcji odwrotnej jest zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R} - \{-2\}}\)

Awatar użytkownika
Doktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 4 lis 2006, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa/Kolno
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 3 razy

Funkcje odwrotne

Post autor: Doktor » 31 lip 2007, o 12:21

no własnie o to mi chodziło. A czy nie ma znaczenia czy badamy zbiór wartości funkcji f(x) już dziedzinę funkcji odwrotnej ?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Funkcje odwrotne

Post autor: max » 1 sie 2007, o 13:45

no własnie o to mi chodziło. A czy nie ma znaczenia czy badamy zbiór wartości funkcji f(x) już dziedzinę funkcji odwrotnej ?
Dziedziną funkcji odwrotnej do \(\displaystyle{ x \mapsto f(x)}\) jest zbiór wartości (przeciwdziedzina) funkcji \(\displaystyle{ f}\), która nie musi się pokrywać ze zbiorem wszystkich \(\displaystyle{ x}\) dla których wzór na \(\displaystyle{ f^{-1}(x)}\) ma sens. Weź chociażby przykład d).

ODPOWIEDZ