Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \Omega}\) będzie zbiorem, otwartym, ograniczonym z brzegiem gładkim. Zdefiniujmy sobie podzbiór przestrzeni Sobolewa \(\displaystyle{ H^{1}(\Omega):H^{1}{}'(\Omega)=\{f \in H^{1}\left(\Omega\right) : \int_{\Omega} f dx = 0\}}\). Wprowadźmy iloczyn skalarny w \(\displaystyle{ H^{1}{}'(\Omega):\left(f,g\right)=\int_{\Omega}\nabla f \circ \nabla g dx}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ H^1{}'(\Omega)}\) z tym iloczynem skalarnym jest przestrzenią Hilberta (przez \(\displaystyle{ \circ}\) rozumiem standardowy iloczyn skalarny wektorów).


Dowód, że norma pochodząca od tego iloczynu skalarnego jest istotnie normą jest proste. Problem mam z dowodem zupełności tej normy.

Zobacz w Evansie. A jak nie to w Gilbargu i Trudingerze.

Dowód, że norma pochodząca od tego iloczynu skalarnego jest istotnie normą

przemyśl ten napis.

Twoje pytanie jest zadane w dosyć niecodzienny sposób. Ze zrozumiałych względów jest to domknięta podprzestrzeń \(\displaystyle{ H^1}\), a więc jest zupełna w normie indukowanej. Wystarczy więc uzasadnić równoważność tych dwóch norm - o tym właśnie mówi nierówność Poincarego, do której Cię odesłano.