Matematyka.pl

Na wstępie witam wszystkich serdecznie jako nowych użytkownik tego forum.
Mój problem nie jest związany z jakimś konkretnym zadaniem, lecz z ogólnym problemem.
Mianowicie, mając trzy punkty współliniowe, to znajdziemy funkcję kwadratową, której wykres zawiera te punkty, czy nie? Jak tak to dla każdych trzech, czy tylko dla niektórych i jaki wówczas muszą spełniać warunek, aby można było znaleźć tę f. kwadratową?
Pozdrawiam.

Dla kazdych trzech punktow znajdziemy rownanie ktore je opisuje i bedzie ono stopnia 2 (jesli one nie beda wspolliniowe) lub stopnia 1 (jesli beda).

Oj, no jak wygląda wykres funkcji kwadratowej? Jak Ci podpowiada intuicja?... Mamy funkcję

\(\displaystyle{ f(x) = ax^2 + bx + c}\). Trzy punkty \(\displaystyle{ (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3,y_3)}\) mogą się znaleźć na wykresie jakiejś funkcji kwadratowej, jeśli istnieją takie \(\displaystyle{ a,b,c}\), gzie \(\displaystyle{ a\neq 0}\), że spełniony jest liniowy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y_1 = ax_1^2 + bx_1 + c\\
y_2 = ax_2^2 + bx_2 + c\\
y_3 = ax_1^3 + bx_3 + c\end{cases}}\)

To z kolei jest równoważne, że wyznacznik

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}x_1^2&x_1&1\\x_2^2&x_2&1\\x_3^2&x_3&1\end{array}\right|}\)

jest różny od zera.

Można do tego podejść geometrycznie, to znaczy zauważyć, że parabola ma co najwyżej dwa punkty wspólne z dowolną prostą, jednak aby to pokazać, przydałoby się wykonać jakiś rachunek.

Pozdrawiam