Wyznaczyć ciąg geometryczny

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
cinek182
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 30 lip 2007, o 10:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin

Wyznaczyć ciąg geometryczny

Post autor: cinek182 » 30 lip 2007, o 10:09

Mam dane:
\(\displaystyle{ a_5 - a_3 = 6,75}\) i \(\displaystyle{ a_4-a_2 = 4,5}\)

Mam znalezc pierwszy wyraz i iloraz ciagu. Prosze o pomoc.

Poprawiłem temat i zapis.
luka52
Ostatnio zmieniony 30 lip 2007, o 10:11 przez cinek182, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Wyznaczyć ciąg geometryczny

Post autor: luka52 » 30 lip 2007, o 10:15

\(\displaystyle{ a_5 - a_3 = a_1 q^4 - a_1 q^2 = a_1 q^2 (q^2 - 1)\\
a_4 - a_2 = a_1 q^3 - a_1 q = a_1 q (q^2 - 1)\\
(q 1)\\
\frac{a_5 - a_3}{a_4 - a_2} = \frac{a_1 q^2 (q^2 - 1)}{a_1 q (q^2 - 1)} = q = \frac{6,75}{4,5} = 1,5\\
a_4 - a_2 = a_1 1,5 1,25 = 4,5 a_1 = 2.4}\)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Wyznaczyć ciąg geometryczny

Post autor: scyth » 30 lip 2007, o 10:20

Czyli:

\(\displaystyle{ \begin{cases} aq^5-aq^3=6,75\\aq^4-aq^2=4,5\end{cases}}\)

wyciągając wspólny czynnik przed nawias:

\(\displaystyle{ \begin{cases} aq^3(q^2-1)=6,75\\aq^2(q^2-1)=4,5\end{cases}}\)

zakładamy, że \(\displaystyle{ a 0}\) oraz \(\displaystyle{ aq^2 1}\). Stąd (dzieląc (1) przez (2)) \(\displaystyle{ q=1,5}\) i już łatwo obliczyć, że \(\displaystyle{ a=1,6}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Wyznaczyć ciąg geometryczny

Post autor: luka52 » 30 lip 2007, o 10:55

scyth pisze:i już łatwo obliczyć, że \(\displaystyle{ a=1,6}\)
Problem w tym, że nie jest to takie proste, gdyż a≠1,6

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Wyznaczyć ciąg geometryczny

Post autor: scyth » 30 lip 2007, o 11:00

luka52 pisze:
Problem w tym, że nie jest to takie proste, gdyż a≠1,6
Dlaczego?

Dla Ciebie a1=a, dla mnie a0=a i a1=a*q, stąd rozbieżność.

ps. Zresztą można policzyć, że dla a=1,6 i q=1,5 jest ok pod warunkiem, że a(n)=a*q^n), gdy a(n)=a*q^(n-1) to liczy się twoje rozwiązanie

ps2. 1,5*1,6=2,4

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Wyznaczyć ciąg geometryczny

Post autor: luka52 » 30 lip 2007, o 11:09

scyth pisze:Dla Ciebie a1=a, dla mnie a0=a i a1=a*q, stąd rozbieżność.
Matematyka, to nie jest informatyka, gdzie ciągi można zacząć indeksować od 0.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Wyznaczyć ciąg geometryczny

Post autor: max » 30 lip 2007, o 20:46

To chyba drobna przesada... kwestia jest raczej umowna - podobnie jak przynależność zera do zbioru liczb naturalnych.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Wyznaczyć ciąg geometryczny

Post autor: Sylwek » 30 lip 2007, o 22:57

max pisze:To chyba drobna przesada... kwestia jest raczej umowna - podobnie jak przynależność zera do zbioru liczb naturalnych.
Kwestia nie jest umowna, ponieważ w rozwiązaniu scyth wyraz a5 byłby 6-tym wyrazem ciągu, a przyjęte jest (taka jest umowa) i według tego rozwiązuje się wszystkie zadania dotyczące ciągów, że wyraz a1 jest pierwszym wyrazem ciągu (indeks numeryczny n przy wyrazie mówi, że ten wyraz jest n-tym w tym ciągu). Żeby nie było wątpliwości rozwiązanie luka52 jest poprawne

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Wyznaczyć ciąg geometryczny

Post autor: max » 31 lip 2007, o 00:29

Sylwek pisze:
max pisze:To chyba drobna przesada... kwestia jest raczej umowna - podobnie jak przynależność zera do zbioru liczb naturalnych.
Kwestia nie jest umowna, ponieważ w rozwiązaniu scyth wyraz a5 byłby 6-tym wyrazem ciągu, a przyjęte jest (taka jest umowa) i według tego rozwiązuje się wszystkie zadania dotyczące ciągów, że wyraz a1 jest pierwszym wyrazem ciągu (indeks numeryczny n przy wyrazie mówi, że ten wyraz jest n-tym w tym ciągu). Żeby nie było wątpliwości rozwiązanie luka52 jest poprawne
Dla jasności moja wypowiedź nie odnosiła się do samego zadania, a jedynie do wypowiedzi luki, jakoby ciągów nie można było indeksować od zera:
luka52 pisze:Matematyka, to nie jest informatyka, gdzie ciągi można zacząć indeksować od 0.
Pozdrawiam (:

K4rol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 301
Rejestracja: 18 cze 2007, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Elbląg
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 7 razy

Wyznaczyć ciąg geometryczny

Post autor: K4rol » 9 sie 2007, o 10:13

dane:
\(\displaystyle{ a_{1}=6\\
\frac{a_{10}}{a_{6}}=16}\)

Ciąg nie jest monotoniczny.

No i z tego wychodzi \(\displaystyle{ q=2 q=-2}\)
i pytanie, dlaczego odp jest q=-2?

bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

Wyznaczyć ciąg geometryczny

Post autor: bullay » 9 sie 2007, o 10:16

Poniewaz ciąg nie jest monotoniczny. Przy \(\displaystyle{ q=2}\) bylby rosnacy.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Wyznaczyć ciąg geometryczny

Post autor: scyth » 9 sie 2007, o 10:24

\(\displaystyle{ \frac{a_{10}}{a_{6}}=\frac{a_{1}q^{9}}{a_{1}q^{5}}=q^{4}}\)
Z tego mamy, że \(\displaystyle{ q^2=8}\), czyli \(\displaystyle{ q}\) przyjmuje na przemian wartości \(\displaystyle{ 4}\) lub \(\displaystyle{ -4}\). Teraz trzeba znaleźć czy \(\displaystyle{ q=(-1)^n4}\) czy \(\displaystyle{ q=(-1)^{(n-1)}4}\), a ponieważ mamy dane \(\displaystyle{ a_1}\) to można wywnioskować, że ogólna postać ciągu to \(\displaystyle{ a_{n}=6(-1)^{(n-1)}4^{(n-1)}}\)

bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

Wyznaczyć ciąg geometryczny

Post autor: bullay » 9 sie 2007, o 12:01

scyth pisze:\(\displaystyle{ \frac{a_{10}}{a_{6}}=\frac{a_{1}q^{9}}{a_{1}q^{5}}=q^{4}}\)
Z tego mamy, że \(\displaystyle{ q^2=8}\), czyli \(\displaystyle{ q}\) przyjmuje na przemian wartości \(\displaystyle{ 4}\) lub \(\displaystyle{ -4}\). Teraz trzeba znaleźć czy \(\displaystyle{ q=(-1)^n4}\) czy \(\displaystyle{ q=(-1)^{(n-1)}4}\), a ponieważ mamy dane \(\displaystyle{ a_1}\) to można wywnioskować, że ogólna postać ciągu to \(\displaystyle{ a_{n}=6(-1)^{(n-1)}4^{(n-1)}}\)
Co ty piszesz? Sporo bledow i wcale nie wyjasniles czemu jest \(\displaystyle{ q=-2 \ a \ nie\ q=2}\)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Wyznaczyć ciąg geometryczny

Post autor: scyth » 9 sie 2007, o 12:07

ech... q nie jest ani 2 ani -2 - bo ciąg nie jest monotoniczny. no i gdzie te bledy? Podaj swoje rozwiązanie.

bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

Wyznaczyć ciąg geometryczny

Post autor: bullay » 9 sie 2007, o 12:12

przeciez masz ze \(\displaystyle{ \frac{a_{10}}{a_{6}}=\frac{a_{1}q^{9}}{a_{1}q^{5}}=q^{4}=16}\) czyli \(\displaystyle{ q=2\vee q=-2}\), ale ciąg nie jest monotoniczny, wiec q nie moze byc rowne 2, bo wtedy ciag bylby monotoniczny. Czyli \(\displaystyle{ q=-2}\)

ODPOWIEDZ