Wyznaczyć pierwiastki równania

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
jeremi18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 lip 2007, o 11:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Puławy
Podziękował: 4 razy

Wyznaczyć pierwiastki równania

Post autor: jeremi18 » 29 lip 2007, o 11:38

\(\displaystyle{ 8z^{3}=(1-i \sqrt{3} )^{3}}\)

Poprawiłem zapis. luka52
Ostatnio zmieniony 29 lip 2007, o 12:02 przez jeremi18, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6498
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Wyznaczyć pierwiastki równania

Post autor: mol_ksiazkowy » 29 lip 2007, o 12:44

\(\displaystyle{ z=\frac{(1-i \sqrt{3} )}{2}w}\)
tj
\(\displaystyle{ w^3=1}\)
etc

Kasiula@
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlasie
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 27 razy

Wyznaczyć pierwiastki równania

Post autor: Kasiula@ » 29 lip 2007, o 12:47

Jest kilka metod rozwiazywania takich rownan,np. odgadnac jeden z pierwiastkow i pozostale znajdzie sie z odpowiedniego wzoru,czyli:
Mamy równanie:
\(\displaystyle{ z^{3}=\frac{1}{8}(1-\sqrt{3})^{3}}\)
Łatwo odgadnac,ze jednym z pierwiastkow będzie:
\(\displaystyle{ z_{0}=\frac{1}{2}(1-\sqrt{3})}\)
Pozostale pierwiastki znajdziemy,z wzoru:
\(\displaystyle{ z_{k}=z_{0}(\cos(\frac{2k\pi}{3})+i\sin(\frac{2k\pi}{3}))}\),gdzie k=1,2
Czyli:
\(\displaystyle{ z_{1}=\frac{1}{2}(1+i\sqrt{3})}\)
\(\displaystyle{ z_{2}= -1}\)

Można tez "standardowo" (jest tu mala potega)
\(\displaystyle{ z^{3}=\frac{1}{8}(1-\sqrt{3})^{3}=\frac{1}{8}*(-8)=-1}\)
i tu skorzystac ze wzoru:
\(\displaystyle{ z_{k}=\sqrt[3]{|z|}(\cos(\frac{2k\pi+\varphi}{3})+i\sin(\frac{2k\pi+\varphi}{3}))}\),gdzie k=0,1,2
\(\displaystyle{ |z|=1,\varphi=\pi}\)

Pozdrawiam

ODPOWIEDZ