Matematyka.pl

Wiadomo, że iloczyn 2 kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez 2, trzech - przez 6, czterech przez 24, pięć przez 120 i można tak w nieskończoność.
Dość łatwo udowodnić za pomocą matematyki elementarnej pierwszą z własności, biorąc liczbę parzystą \(\displaystyle{ 2n}\) i kolejną po niej nieparzystą \(\displaystyle{ 2n+1}\).
Ale czy da się (bez indukcji i kongurencji) udowodnić pozostałe własności? W szkole często wykorzystuje się podzielność przez 6 trzech kolejnych liczb naturalnych. Może choć to uda się komuś udowodnić "algebraicznie"?

Ponieważ \(\displaystyle{ (m+1)\cdot (m+2)\cdot\ldots\cdot(m+k)=\frac{(m+k)!}{m!}}\), to pytasz o to, czy \(\displaystyle{ k! \mid \frac{(m+k)!}{m!}}\), albo inaczej, czy \(\displaystyle{ \frac{(m+k)!}{m!k!}={m+k\choose k}\in\NN}\).

Szkoda, że nie bardzo da się odczytać to, co napisałaś...

Lepiej późno niż wcale, jak to mówią...

Który fragment rozumowania Ci nie pasuje?