Różnowartościowość funkcji

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
Awatar użytkownika
Kamila
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 16 lip 2006, o 13:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 53 razy

Różnowartościowość funkcji

Post autor: Kamila » 28 lip 2007, o 12:58

Sprawdź różnowartościowość funkcji określonej wzorem:
\(\displaystyle{ t(x)=\frac{x^{2}}{x-2}}\), \(\displaystyle{ x\in(4,+\infty)}\)

Pomóżcie
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

Różnowartościowość funkcji

Post autor: setch » 28 lip 2007, o 13:20

\(\displaystyle{ x_1 , x_2 (4;+\infty)\\
x_1 x_2\\
t(x_1)-t(x_2)=\frac{x_1^2}{x_1-2}\frac{x_2^2}{x_2-2}=\frac{x_1^2(x_2-2)-x_2^2(x_1-2)}{(x_1-2)(x_2-2)}=\frac{x_1^2x_2-2x_1^2-x_2^2x_1+2x^2_2}{(x_1-2)(x_2-2)}= \frac{x_1x_2(x_1-x_2)-2(x_1^2-x_2^2)}{(x_1-2)(x_2-2)} = \frac{x_1x_2(x_1-x_2)-2(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{(x_1-2)(x_2-2)}= \frac{(x_1-x_2)(x_1x_2-2(x_1+x_2))}{(x_1-2)(x_2-2)}}\)

Mianownik ułamka jest zawsze różny od zera. Wyrażenie \(\displaystyle{ x_1-x_2}\) jest zawsze różne od zera. Tylko nie wiem jak wykazać, że \(\displaystyle{ x_1x_2-2(x_1+x_2) 0}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Różnowartościowość funkcji

Post autor: max » 28 lip 2007, o 13:32

Ponieważ \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2} > 4}\), to:
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2} = \tfrac{1}{2}x_{1}x_{2} + \tfrac{1}{2}x_{1}x_{2} > \tfrac{1}{2}\cdot 4x_{1} + \tfrac{1}{2}\cdot 4x_{2} = 2x_{1} + 2x_{2}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2} - 2(x_{1} + x_{2})> 0}\)

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 571
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 173 razy

Różnowartościowość funkcji

Post autor: JHN » 28 lip 2007, o 13:54

\(\displaystyle{ \textrm{Niech }x_{1},x_{2}\in(4,\infty)\quad\wedge\quad t(x_{1})=t(x_{2})\\\\
\textrm{wtedy }\frac{x_{1}^2}{x_{1}-2}=\frac{x_{2}^2}{x_{2}-2}\\\\
x_{1}^2(x_{2}-2)=x_{2}^2(x_{1}-2)\\\\
x_{1}^2 x_{2}-2x_{1}^2-x_{2}^2x_{1}+2x_{2}^2=0\\\\
x_{1}x_{2}(x_{1}-x_{2})-2(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})=0\\\\
(x_{1}-x_{2})(x_{1}x_{2}-2x_{1}-2x_{2})=0\\\\
x_{1}-x_{2}=0\quad\vee\quad x_{1}x_{2}-2x_{1}-2x_{2}+4-4=0\\\\
x_{1}=x_{2}\quad\vee\quad x_{1}(x_{2}-2)-2(x_{2}-2)-4=0\\\\
x_{1}=x_{2}\quad\vee\quad (x_{2}-2)(x_{1}-2)-4=0\\\\
x_{1}=x_{2}\quad\vee\quad (x_{1},x_{2})\in\emptyset\textrm{ (*)}\\\\
x_{1}=x_{2}\\
\textrm{co jest równowazne róznowartosciowosci funkcji }y=t(x) \textrm{ w podanym przedziale}\\\\
\textrm{ (*): Dla liczb }x_{1},x_{2}\in(4,\infty) \textrm{mamy}\\\\
\left\{\begin{array}{l}x_{1}-2>2\\x_{2}-2>2\end{array}\Rightarrow\quad (x_{1}-2)(x_{2}-2)>4\iff(x_{1}-2)(x_{2}-2)-4>0}\)


Pozdrawiam

Awatar użytkownika
Kamila
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 16 lip 2006, o 13:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 53 razy

Różnowartościowość funkcji

Post autor: Kamila » 30 lip 2007, o 18:39

Dzięki .

ODPOWIEDZ