Matematyka.pl

\(\displaystyle{ X_n}\) zm. losowa o rozkładzie geometrycznym z parametrem \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)
Czy ciąg \(\displaystyle{ Y_n=\exp \left( \frac{-X_n}{n} \right)}\) jest zbieżny według rozkładu?

Jak to ruszyć? Z czego najlepiej skorzystać? Z funkcji charakterystycznych?

Policz dystrybuantę zmiennej losowe \(\displaystyle{ Y_n.}\)

no to mamy \(\displaystyle{ F_{Y_n}(t)=P(Y_n \le t)=P(X_n \ge -n \ln(t) )=-(1- \frac{1}{n} )^{-n \ln(t)} \rightarrow - \frac{1}{t}}\)

Coś w tym stylu ale sporo błędów narobiłaś.

Rozważmy przypadki:
I) \(\displaystyle{ t \le 0,}\) wtedy

\(\displaystyle{ F_{Y_n}(t)=0}\)

II) \(\displaystyle{ t \ge 1,}\) wtedy

\(\displaystyle{ F_{Y_n}(t)=1}\)

III) \(\displaystyle{ 0 < t <1,}\) wtedy

\(\displaystyle{ F_{Y_n}(t)=P(Y_n \le t)=P(X_n \ge -n \ln t )=P(X_n \ge \lceil-n \ln t \rceil )=\ldots}\)

teraz masz liczbę naturalną po prawej stronie. U ciebie nieprawdziwa jest równość \(\displaystyle{ P(X_n \ge -n \ln(t) )=-(1- \frac{1}{n} )^{-n \ln(t)},}\) po pierwsze otrzymujesz liczbę ujemną a to jest prawdopodobieństwo, po drugie \(\displaystyle{ -n \ln(t)}\) nie musi być liczbą naturalną (ani całkowitą) a zmienna losowa o rozkładzie geometrycznym przyjmuje tylko wartości \(\displaystyle{ 1,2,\ldots}\) (lub \(\displaystyle{ 0,1,\ldots}\) zależy od wersji).

no tak, rzeczywiście. Brzydko to policzyłam
Jak to dobrze dokończyć?

Teraz to \(\displaystyle{ P(X_n \ge \lceil-n \ln t \rceil ), t\in (0,1)}\) musisz policzyć. Przyjmijmy, że masz rozkład geometryczny o wartościach \(\displaystyle{ 0,1,\ldots}\) bo tak by wynikało z twojego poprzedniego postu, wtedy

\(\displaystyle{ P(X_n \ge \lceil-n \ln t \rceil )=\sum_{k=a}^{\infty}P(X_n=k)=\sum_{k=\lceil-n \ln t \rceil}^{\infty}(1-\frac{1}{n})^k \frac{1}{n}=\frac{1}{n}(1-\frac{1}{n})^{\lceil-n \ln t \rceil}n=(1-\frac{1}{n})^{\lceil-n \ln t \rceil}\to t.}\)

Czyli ostatecznie ciąg \(\displaystyle{ Y_n}\) jest zbieżny według rozkładu do \(\displaystyle{ Y}\) o rozkładzie \(\displaystyle{ U \left( 0,1\right)}\)

Tak, na to wychodzi.

Dziękuję bardzo za pomoc. Wszystko jasne