Całka nieoznaczona

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
koala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 17 wrz 2005, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Terra Australis
Podziękował: 1 raz

Całka nieoznaczona

Post autor: koala » 27 lip 2007, o 12:33

Mam problem z wyliczeniem tej całki: \(\displaystyle{ \int xcos^{2}xdx}\). Liczyłem kilka razy przez części, ale nie mogę jej nigdy do końca wyliczyć...
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka nieoznaczona

Post autor: luka52 » 27 lip 2007, o 12:34

Przedstaw swoje obliczenia - być może masz gdzieś błąd.

koala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 17 wrz 2005, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Terra Australis
Podziękował: 1 raz

Całka nieoznaczona

Post autor: koala » 27 lip 2007, o 13:04

Nie wiem czy jest sens, bo zawsze dochodzę do całki, która jest trudniejsza do policzenia niż pierwotna; obojętnie czy \(\displaystyle{ U(x)=x}\) i \(\displaystyle{ V'(x)=cos^{2}x}\) czy też odwrotnie

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka nieoznaczona

Post autor: luka52 » 27 lip 2007, o 13:10

Może być. Wtedy mamy:
\(\displaystyle{ du = dx, \quad v = t \cos^2 x \, dx}\)
Aby wyliczyć do końca v, zauważ, że \(\displaystyle{ \cos^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x)}\). Dalej myślę, że sobie poradzisz, a w razie czego - pisz.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6514
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Całka nieoznaczona

Post autor: mol_ksiazkowy » 27 lip 2007, o 13:14

\(\displaystyle{ \int xcos^{2}xdx =\int x(\frac{1}{2}x +\frac{1}{4} sin(2x))^\prime dx = x(\frac{1}{2}x +\frac{1}{4} sin(2x)) - t \frac{1}{2}x +\frac{1}{4} sin(2x) dx}\).

koala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 17 wrz 2005, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Terra Australis
Podziękował: 1 raz

Całka nieoznaczona

Post autor: koala » 27 lip 2007, o 13:34

a skąd się to bierze?
\(\displaystyle{ \cos^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x)}\)
Wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}cos2x+\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}xsin2x}\) a w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \frac{1}{8}cos2x+\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{4}xsin2x}\)

[ Dodano: 27 Lipca 2007, 13:38 ]
Znalazłem błąd. Teraz wynik się już zgadza

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Całka nieoznaczona

Post autor: luka52 » 27 lip 2007, o 14:04

koala pisze:a skąd się to bierze?
\(\displaystyle{ \cos^2 x = \frac{1}{2}(2 \cos^2 x) = \frac{1}{2}( \sin^2 x + \cos^2 x + \cos^2 x - \sin^2 x ) = \\ = \frac{1}{2}(1 + \cos^2 x - \sin^2 x) = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x)}\)

koala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 17 wrz 2005, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Terra Australis
Podziękował: 1 raz

Całka nieoznaczona

Post autor: koala » 27 lip 2007, o 14:21

Heeh. Sprytne Dziękuje za pomoc.

ODPOWIEDZ