Oblicz pole obszaru za pomocą całki podwójnej

[avon]

Oblicz pole obszaru za pomocą całki podwójnej ograniczonego krzywymi:
\(\displaystyle{ y=8,y=x+1,y={2}^{-x}}\)

[Anathemed]

Najpierw trzeba obliczyć "rogi" naszej powierzchni, czyli obliczyć współrzędne punktów A,B,C (dzięki temu będziemy mogli określić odpowiednie granice całkowania).

Łatwo można wyliczyć, że:
\(\displaystyle{ A = ( -3, 8)}\)
\(\displaystyle{ B = ( 7, 8)}\)
\(\displaystyle{ C = ( 0, 1)}\)

Teraz, korzystając z twierdzenia Fubiniego, możemy policzyć naszą całkę:

\(\displaystyle{ \iint_{D} = \iint_{D_1} + \iint_{D_2} = t\limits_{-3}^{0}\left( t\limits_{2^{-x}}^{8}dy \right) dx + t\limits_{0}^{7}\left( t\limits_{x+1}^{8}dy \right) dx = t\limits_{-3}^{0}(8-2^{-x})dx + t\limits_{0}^{7}(7-x)dx}\)

Myślę, że dalej już sobie poradzisz

Ps. znacie jakiś programik, gdzie można prosto takie wykresy robić? Bo ten jest z painta

[luka52]

Osobiście proponowałbym następujący sposób:
\(\displaystyle{ \int \limits_1^8 \, \mbox{d}y t \limits_{- \log_2 y}^{y-1} \, = \ldots = \frac{97}{2} - \frac{7}{\ln 2}}\)
Nie trzeba się niepotrzebnie bawić w podział obszaru.