Oblicz pole obszaru za pomocą całki podwójnej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
avon

Oblicz pole obszaru za pomocą całki podwójnej

Post autor: avon » 27 lip 2007, o 10:59

Oblicz pole obszaru za pomocą całki podwójnej ograniczonego krzywymi:
\(\displaystyle{ y=8,y=x+1,y={2}^{-x}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Anathemed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 34 razy

Oblicz pole obszaru za pomocą całki podwójnej

Post autor: Anathemed » 27 lip 2007, o 12:06



Najpierw trzeba obliczyć "rogi" naszej powierzchni, czyli obliczyć współrzędne punktów A,B,C (dzięki temu będziemy mogli określić odpowiednie granice całkowania).

Łatwo można wyliczyć, że:
\(\displaystyle{ A = ( -3, 8)}\)
\(\displaystyle{ B = ( 7, 8)}\)
\(\displaystyle{ C = ( 0, 1)}\)

Teraz, korzystając z twierdzenia Fubiniego, możemy policzyć naszą całkę:

\(\displaystyle{ \iint_{D} = \iint_{D_1} + \iint_{D_2} = t\limits_{-3}^{0}\left( t\limits_{2^{-x}}^{8}dy \right) dx + t\limits_{0}^{7}\left( t\limits_{x+1}^{8}dy \right) dx = t\limits_{-3}^{0}(8-2^{-x})dx + t\limits_{0}^{7}(7-x)dx}\)

Myślę, że dalej już sobie poradzisz

Ps. znacie jakiś programik, gdzie można prosto takie wykresy robić? Bo ten jest z painta

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Oblicz pole obszaru za pomocą całki podwójnej

Post autor: luka52 » 27 lip 2007, o 12:33

Osobiście proponowałbym następujący sposób:
\(\displaystyle{ \int \limits_1^8 \, \mbox{d}y t \limits_{- \log_2 y}^{y-1} \, = \ldots = \frac{97}{2} - \frac{7}{\ln 2}}\)
Nie trzeba się niepotrzebnie bawić w podział obszaru.

ODPOWIEDZ