3 granice

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

3 granice

Post autor: Hania_87 » 27 lip 2007, o 00:36

1) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac {\arcsin 2x-2 arcsinx}{x^{3}}}\)
2) \(\displaystyle{ \lim_{x\to } \sqrt{x+3} \sin (\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1})}\)
3) \(\displaystyle{ \lim_{x\to \frac {\pi}{2}}e^{cos x}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Kostek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 12 lis 2005, o 19:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sidzina/Kraków
Pomógł: 21 razy

3 granice

Post autor: Kostek » 27 lip 2007, o 01:41

2.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to{\infty}}\sqrt{x+3}sin(\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}})=\lim_{x\to{\infty}}\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}\frac{sin(\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}})}{\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}}{}}=\frac{1}{2}}\)

3
\(\displaystyle{ \lim_{x\to{\frac{\pi}{2}}}e^{cosx}=e^{0}=1}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

3 granice

Post autor: max » 27 lip 2007, o 17:23

1) Korzystając z reguły de L'Hospitala:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin 2x - 2\arcsin x}{x^{3}} \stackrel{\mathbf{H}}{=} \lim_{x\to 0} \frac{(\arcsin 2x - 2\arcsin x)'}{(x^{3})'} = \\
= \lim_{x\to 0}\frac{\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^{2}}} - \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{3x^{2}} = \lim_{x\to 0}\frac{2(\sqrt{1 - x^{2}} -\sqrt{1 - 4x^{2}})}{3x^{2}\sqrt{(1 - 4x^{2})(1 - x^{2})}} =\\
= \lim_{x\to 0}\frac{2(\sqrt{1 - x^{2}} -\sqrt{1 - 4x^{2}})}{3x^{2}\sqrt{(1 - 4x^{2})(1 - x^{2})}}\cdot \frac{\sqrt{1 - x^{2}} +\sqrt{1 - 4x^{2}}}{ \sqrt{1 - x^{2}} +\sqrt{1 - 4x^{2}}}=\\
= \lim_{x\to 0}\frac{2\cdot 3x^{2}}{3x^{2}(\sqrt{1 - x^{2}} +\sqrt{1 - 4x^{2}})\sqrt{(1 - 4x^{2})(1 - x^{2})}} = \\
= \lim_{x\to 0}\frac{2}{(\sqrt{1 - x^{2}} +\sqrt{1 - 4x^{2}})\sqrt{(1 - 4x^{2})(1 - x^{2})}}= 1}\)

ODPOWIEDZ