Bardzo ładnie można to zadanie rozwiązać w języku algebry liniowej.
Wiemy, że zachodzi wzór Newtona:
\(\displaystyle{ (1+p)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot p^k.}\)
Jeśli oznaczymy
\(\displaystyle{ b = \left[ \binom{n}{0}, \ldots, \binom{n}{n} \right] \in \RR^{n+1}}\)
\(\displaystyle{ x_p = \left[ 1, p, \ldots, p^n \right] \in \RR^{n+1},}\) gdzie
\(\displaystyle{ p \in \RR,}\)
to powyższy wzór możemy krócej zapisać w terminach iloczynu skalarnego
\(\displaystyle{ \left< \cdot, \cdot \right>}\):
\(\displaystyle{ (1+p)^n = \left< b, x_p \right>.}\)
Zauważmy, że szukana suma wynosi
\(\displaystyle{ \binom{n}{1} + \binom{n}{5} + \binom{n}{9} + \ldots = \left< b, v \right>,}\) gdzie
\(\displaystyle{ v = [0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, \ldots ].}\)
Weźmy dowolne parami różne
\(\displaystyle{ p_0, \ldots, p_n \in \RR.}\) Wiadomo z algebry liniowej, że wyznacznik
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Macierz_Vandermonde%27a
jest niezerowy, więc wektory
\(\displaystyle{ x_{p_0}, \ldots, x_{p_n}}\) są liniowo niezależne w
\(\displaystyle{ \RR^{n+1},}\) zatem stanowią bazę tej przestrzeni. Możemy więc zapisać
\(\displaystyle{ v = \alpha_0 \cdot x_{p_0} + \ldots + \alpha_n \cdot x_{p_n}}\) dla pewnych
\(\displaystyle{ \alpha_0, \ldots, \alpha_n \in \RR.}\)
Dostajemy stąd
\(\displaystyle{ \left< b, v \right> = \left< b, \sum_{k=0}^n \alpha_k \cdot x_{p_k} \right> = \sum_{k=0}^n \alpha_k \cdot \left< b, x_{p_k} \right> = \sum_{k=0}^n \alpha_k \cdot (1+p_k)^n.}\)
Zauważmy ponadto, że
\(\displaystyle{ v}\) traktowany jako ciąg jest "okresowy" z okresem długości
\(\displaystyle{ 4,}\) więc wygodnie będzie go przedstawić jako kombinację liniową wektorów okresowych: niech
\(\displaystyle{ p_0 = 1, p_1 = i, p_2 = -1, p_3 = -i.}\) (pierwiastki
\(\displaystyle{ 4}\)-tego stopnia z
\(\displaystyle{ 1}\))
Wystarczy dobrać
\(\displaystyle{ \alpha_0, \ldots, \alpha_3}\) tak, żeby
\(\displaystyle{ [0, 1, 0, 0] = \sum_{k=0}^3 \alpha_k \cdot [1, p_k, p_k^2, p_k^3],}\)
to wtedy
\(\displaystyle{ v = \sum_{k=0}^3 \alpha_k \cdot x_{p_k},}\)
bo na pozycjach od
\(\displaystyle{ 4}\) w górę wartości zaczynają się powtarzać. Czyli pozostaje rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\alpha_0 \cdot 1 + \alpha_1 \cdot 1 + \alpha_2 \cdot 1 + \alpha_3 \cdot 1 = 0 \\
\alpha_0 \cdot 1 + \alpha_1 \cdot i - \alpha_2 \cdot 1 - \alpha_3 \cdot i = 1 \\
\alpha_0 \cdot 1 - \alpha_1 \cdot 1 + \alpha_2 \cdot 1 - \alpha_3 \cdot 1 = 0 \\
\alpha_0 \cdot 1 - \alpha_1 \cdot i - \alpha_2 \cdot 1 + \alpha_3 \cdot i = 0
\end{cases}}\)
i wtedy
\(\displaystyle{ \binom{n}{1} + \binom{n}{5} + \binom{n}{9} + \ldots = \alpha_0 \cdot 2^n + \alpha_1 \cdot (1+i)^n + \alpha_2 \cdot (1-1)^n + \alpha_3 \cdot (1-i)^n.}\)
(Tylko uwaga, bo
\(\displaystyle{ \alpha_k}\) są zespolone. )