Matematyka.pl

1)Czy liczby postaci \(\displaystyle{ a+b \sqrt[3]{2}, \ \ a,b \in \ZZ}\) tworzą pierścień ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb?
Moim zdaniem tak.

2)Czy liczby postaci \(\displaystyle{ a+bi , \ \ a,b \in \ZZ}\) tworzą pierścień ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb?
Moim zdaniem również tak.

Sprawdź, czy zbiór jest zamknięty na działania (dodawanie, element przeciwny, mnożenie, element odwrotny liczby różnej od \(\displaystyle{ 0}\)).

no jest. sprawdzałem wszystkie warunki na pierścień

Ja nie wiem, jak zapisać liczbę \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{4}}\) w postaci \(\displaystyle{ a+b\sqrt[3]{2}}\), \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{Z}}\).

1. Jak sprawdziłeś zamkniętość na mnożenie?

2. Ok. Tu ja przesadziłem, bo elementów odwrotnych w pierścieniu być nie musi.

ale mam takie warunki na pierścień:
1) Zbiór z dodawaniem jest grupą abelową
2) \(\displaystyle{ (ab)c=a(bc)}\)
3) \(\displaystyle{ (a+b)c=ac+bc}\)

Z którym warunkiem, który podałem równoważne jest to, że musi być zamknięte na mnożenie?

Z takim, że możenie w pierścieniu \(\displaystyle{ A}\) to funkcja \(\displaystyle{ \cdot: A \times A \to A}\) taka, że [...]

nie mam tego w swojej definicji, nie wiem czego to ma dotyczyć

To napisz tą swoją definicję z literatury/wykładu dokładnie, od początku do końca:)

Zbiór \(\displaystyle{ A}\) z działaniami \(\displaystyle{ +, \cdot}\) nazywamy pierścieniem jeśli
1) \(\displaystyle{ \left( A,+\right)}\) jest grupą abelową
2) dla każdych \(\displaystyle{ a,b,c \in A: \ \ a(bc)=(ab)c}\)
3) \(\displaystyle{ (a+b)c=ac+bc}\)

Albo gdzieś wcześniej było zdefiniowane działanie, albo autor uznał to za jasne.

Definicja jest taka:
Działanie dwuargumentowe na \(\displaystyle{ A}\) to funkcja \(\displaystyle{ A\times A\to A}\).

1 nie jest pierscieniem
2 jest pierscieniem