Matematyka.pl

WIemy, że zachodzi

\(\displaystyle{ g(n)=\sum_{d|n}f(d) \Leftrightarrow f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)g\left( \frac{n}{d}\right)}\)
Jeśli \(\displaystyle{ f,g}\) multiplikatywne. Mam pytanie, czy zawsze da się dla funkcji multiplikatywnej \(\displaystyle{ g}\) znaleźć tę funkcję \(\displaystyle{ f}\)?

Na przykład \(\displaystyle{ g(n)=n^3}\). Jak znaleźć \(\displaystyle{ f}\)? Albo dla \(\displaystyle{ \mu(n)?}\)

Przecież sam napisałes wzór na \(\displaystyle{ f}\) po prawej stronie

No dobrze, ale masz np.

\(\displaystyle{ g(n)=n^3=\sum_{d|n}f(d)}\)

Ale nie masz \(\displaystyle{ f}\). Musisz ją znaleźć, zgadnąć. Więc się pytam, jak ją zgadnąć odnaleźci czy zawsze jest to możliwe.

No to patrzysz na wzór i czytasz, że \(\displaystyle{ f(n) =\sum_{d|n} \mu(d) f(n/d)}\)

Wzór powyżej jest niepoprawny, powinno być \(\displaystyle{ \mu(d)}\)

Tak wiem, literówka, dziękuję. Czy ktoś zna odpowiedzi na moje pytania ?

Już została udzielona. Jeśli chodzi Ci o wzór jawny, to czasem istnieje, czasem nie. Nie ma reguły.

Dziękuję o taką konkretną odpowiedź mi chodziło . Dziękuję.