Dowód z wykorzystaniem wzoru Moivre'a

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
xtremalny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 29 sty 2007, o 15:33
Płeć: Mężczyzna

Dowód z wykorzystaniem wzoru Moivre'a

Post autor: xtremalny » 26 lip 2007, o 18:35

czy mógłby mi ktoś pomóc z tym dowodem:
Udowodnij korzystając ze wzoru Moivre'a, że:

\(\displaystyle{ sinx+sin2x+...+sinnx={sin{(n+1)x\over 2}sin{nx\over2}\over sin{x\over 2}}}\)

jeśli to możliwe to prosiłbym o dowód krok po kroku;)...z góry dziękuję

Zapis poprawiłem. luka52
Ostatnio zmieniony 26 lip 2007, o 18:57 przez xtremalny, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

Dowód z wykorzystaniem wzoru Moivre'a

Post autor: przemk20 » 26 lip 2007, o 19:42

\(\displaystyle{ S=\sum_{k=1}^{n} \sin kx = Im \sum_{k=1}^{n} (\cos kx + i \sin kx ) = Im \sum _{k=1}^n ( \cos x + i \sin x )^ k \\}\)
a to jest suma n wyrazowego ciagu geom, gdzie
\(\displaystyle{ q = a_1 = \cos x + i \sin x \\
S=Im \ (\cos x + i \sin x) (\frac{1 -\cos (n+1)x - i \sin (n+1) x }{1 - \cos x - i \sin x})=... \\}\)


Awatar użytkownika
Kostek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 12 lis 2005, o 19:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sidzina/Kraków
Pomógł: 21 razy

Dowód z wykorzystaniem wzoru Moivre'a

Post autor: Kostek » 26 lip 2007, o 19:53

\(\displaystyle{ sinx=\frac{e^ix-e^{-ix}}{2i}}\) podstawiajac do kazdego wyrazu sumy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2i}((e^{ix}+e^{2ix}+e^{3ix}+...e^{nix})-(e^{-ix}+e^{-2ix}+e^{-3ix}+...e^{-nix})}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{2i}(\frac{e^{ix}-e^{xi(n+1)}}{1-e^{ix}}-\frac{e^{-ix}-e^{-(n+1)ix}}{1-e^{-ix}})}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{2i}\frac{e^{ix}-e^{-x}-(e^{n+1)ix}-e^{-(n+1)ix})+e^{nix}-e^{-nix}}{2-(e^{ix}+e^{-ix})}=\frac{sinx-sin(n+1)x+sinnx}{2-2cosx}}\)
Pewnie na to samo wyjdzie

ODPOWIEDZ