zbadać jednostajną ciągłość

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

zbadać jednostajną ciągłość

Post autor: Hania_87 » 26 lip 2007, o 15:56

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x},x\neq 0}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

zbadać jednostajną ciągłość

Post autor: scyth » 26 lip 2007, o 16:23

Definicja jednostajnej ciągłości:
\(\displaystyle{ \bigwedge_{\varepsilon>0} \bigvee_{\delta>0} \bigwedge_{x, y X}\left[ \varrho(x,y) < \delta \sigma(f(x),f(y)) |\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|}\)
Ostatnio zmieniony 26 lip 2007, o 16:32 przez scyth, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Anathemed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 34 razy

zbadać jednostajną ciągłość

Post autor: Anathemed » 26 lip 2007, o 16:31

Mamy zbadać, czy dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie że dla każdych x,y ≠ 0 jeżeli \(\displaystyle{ |x-y| < \delta}\) to \(\displaystyle{ |f(x) - f(y)| < \epsilon}\)

Wybierzmy więc sobie dowolne \(\displaystyle{ \epsilon}\).
Udowodnię, że funkcja f(x) nie jest jednostajnie ciągła w otoczeniu zera.
Załóżmy nie wprost, że f(x) jest ciągła jednostajnie na całej swojej dziedzinie, czyli że istnieje \(\displaystyle{ \delta}\) spełniająca powyższą implikację.

Czyli prawdą jest, że \(\displaystyle{ |f(x) - f(y)| = |\frac{1}{x} - \frac{1}{x}| = |\frac{x-y}{xy}| = |\frac{\delta}{xy}| < \epsilon}\).
Jednak x i y mogą być dowolnie bliskie zeru, czyli lewa strona może być dowolnie duża, czyli istnieją takie x i y, że nierówność ta nie jest prawdziwa. A my założyliśmy nie wprost, że jest prawdziwa dla każdego x i y ≠ 0 - sprzeczność, która kończy dowód.

Tak więc f(x) nie jest jednostajnie ciągła na całej swojej dziedzinie.
Jednak jest ona jednostajnie ciągła na całej swojej dziedzinie z wyłączeniem nieskończenie małego otoczenia zera (a,b), co można udowodnić, wybierając w naszej definicji ciągłości jednostajnej \(\displaystyle{ \delta = |\frac{\frac{1}{2}\epsilon}{ab}|}\)

Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

zbadać jednostajną ciągłość

Post autor: Hania_87 » 26 lip 2007, o 23:36

Anathemed pisze: Tak więc f(x) nie jest jednostajnie ciągła na całej swojej dziedzinie.
Jednak jest ona jednostajnie ciągła na całej swojej dziedzinie z wyłączeniem nieskończenie małego otoczenia zera (a,b), co można udowodnić, wybierając w naszej definicji ciągłości jednostajnej \(\displaystyle{ \delta = |\frac{\frac{1}{2}\epsilon}{ab}|}\)
i
scyth pisze: Drugi sposób to pokazanie, że w \(\displaystyle{ 0}\) funkcja ma lewostronną granicę różną od prawostronnej.
tego niedokońca rozumię

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

zbadać jednostajną ciągłość

Post autor: scyth » 27 lip 2007, o 08:33

Granicą lewostronną funkcji w zerze jest \(\displaystyle{ -\infty}\), prawostronną \(\displaystyle{ +\infty}\).
Dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon}\) wybierając \(\displaystyle{ x}\)(ujemne) i \(\displaystyle{ y}\)(dodatnie) takie, że \(\displaystyle{ |x-y|}\)

Awatar użytkownika
Anathemed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 34 razy

zbadać jednostajną ciągłość

Post autor: Anathemed » 27 lip 2007, o 09:27

Anathemed pisze: Tak więc f(x) nie jest jednostajnie ciągła na całej swojej dziedzinie.
Jednak jest ona jednostajnie ciągła na całej swojej dziedzinie z wyłączeniem nieskończenie małego otoczenia zera (a,b), co można udowodnić, wybierając w naszej definicji ciągłości jednostajnej \(\displaystyle{ \delta = |\frac{\frac{1}{2}\epsilon}{ab}|}\)
Ajaj, błąd... Powinno być: \(\displaystyle{ \delta = \frac{1}{2}\epsilon}|min(|a|,|b|)^2|}\)

Przy badaniu jednostajnej ciągłości często oprócz stwierdzenia, czy dana funkcja jest jednostajnie ciągła, czy nie, badamy również dla podzbioru dziedziny danej funkcji, funkcja jest jednostajnie ciągła.

Tutaj okazuje się, że funkcja f(x) nie jest co prawda jednostajnie ciągła w całej swojej dziedzinie, ale jest ciągła jeżeli z dziedziny wyrzucimy dowolne otoczenie zera, czyli dowolny przedział zawierający zero. Ponieważ przedział ten może być dowolnie mały, mówimy że f(x) jest jednostajnie ciągła z wyjątkiem nieskończenie małego otoczenia zera (czyli tego przedziału zawierającego zero).

Teraz, jak udowodnić w takim razie jednostajną ciągłość funkcji f(x) w tej zawężonej dziedzinie?

Wybierzmy sobie ten nasz dowolny przedział zawierający zero, na przykład przedział \(\displaystyle{ (a,b)}\), \(\displaystyle{ a,b > 0}\)

Udowodnimy teraz jednostajną ciągłość z definicji. Wybierzmy zatem dowolne ε > 0.
Musimy udowodnić, że istnieje \(\displaystyle{ \delta}\) spełniająca naszą implikację z definicji.

Udowodnię, że \(\displaystyle{ \delta = \frac{1}{2}\epsilon}|min(|a|,|b|)^2|}\)jest naszą szukaną deltą, dla której implikacja w definicji jednostajnej ciągłości jest prawdziwa.

Mamy: \(\displaystyle{ |f(x) - f(y)| = |\frac{1}{x} - \frac{1}{x}| = |\frac{x-y}{xy}| = |\frac{\delta}{xy}| = |\frac{\frac{1}{2}\epsilon|min(|a|,|b|)^2|}{xy}| = \frac{1}{2}\epsilon}|\frac{min(|a|,|b|)^2}{xy}|< \frac{1}{2}\epsilon} < \epsilon}\)co kończy dowód
(bo dla każdego x,y \(\displaystyle{ x > min(|a|,|b|)}\) i \(\displaystyle{ y > min(|a|,|b|)}\))

ODPOWIEDZ