Matematyka.pl

Zadanie:

Rozważmy 25 latka wylosowanego z populacji Moivre’a z wiekiem granicznym \(\displaystyle{ \omega}\), który za pomocą renty życiowej ciągłej będzie płacił składkę emerytalną ze stałą intensywnością netto \(\displaystyle{ \overline{P}}\) aż do wieku \(\displaystyle{ y}\), kiedy zacznie otrzymywać emeryturę w formie renty dożywotniej z intensywnością netto \(\displaystyle{ \overline{E}}\).

Wiadomo, że dożyje on emerytury z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\). Ponadto wiadomo, że średni czas przebywania na emeryturze (tych, którzy na nią przeszli) wynosi 18 lat.

Oblicz \(\displaystyle{ \frac{\overline{E}}{\overline{P}}}\). Techniczna intensywność oprocentowania wynosi \(\displaystyle{ \sigma = 0.05}\). Wskaż najbliższą odpowiedź:

A. \(\displaystyle{ 1.66}\)
B. \(\displaystyle{ 1.71}\)
C. \(\displaystyle{ 1.76}\)
D. \(\displaystyle{ 1.81}\)
E. \(\displaystyle{ 1.86}\)

Nie mam pojęcia jak się za to zabrać. Prosiłbym o jakieś wskazówki.

Z treści zadania wynika, że:

\(\displaystyle{ \frac{\overline{E}}{\overline{P}} = \frac{\overline{a}_{25:\overline{y-25|}} }{{}_{y-25|} \overline{a}_{25}}}\)

Z drugiej części zadania mamy:

\(\displaystyle{ \frac{3}{4} = {}_{y-25} p_{25} = 1- \frac{y-25}{\omega-25}}\) i
\(\displaystyle{ 18 = \overset{\circ} e_y = \frac{\omega-y}{2}}\).
Stąd wyliczamy \(\displaystyle{ \omega}\) i \(\displaystyle{ y}\) i dalej to już rozpisanie wzorów na wartości bieżące rent ciągłych przy pomocy całek i policzenie ich.