Matematyka.pl

Udowodnić, że dla ustalonej liczby naturalnej k istnieje conajwyżej skończona liczba takich liczb n, że liczby \(\displaystyle{ k\cdot 10^{n}+1}\) są kwadratami liczb naturalnych

Zapiszmy tezę w ten sposób:

Istnieje skończenie wiele rozwiązań równania \(\displaystyle{ k\cdot 10^{n}+1 = m^2}\), gdzie k jest stałą, a n i m są liczbami naturalnymi.

Od razu widać, iż m musi być nieparzyste. Niech więc \(\displaystyle{ m = 2l + 1}\)
Po wstawieniu tego do naszego równania i prostym jego przekształceniu, dostajemy równanie:
\(\displaystyle{ k\cdot 10^{n} = 4l(l+1)}\)

Oznaczmy:
\(\displaystyle{ s = l}\)
\(\displaystyle{ t = l+1}\)

Widzimy, że liczby \(\displaystyle{ s}\) i \(\displaystyle{ t}\) są względnie pierwsze. Gdy dodamy do tego jeszcze, że lewa strona jest podzielna przez 2 i 5, otrzymujemy iż dokładnie jedna z tych liczb (l i l+1) jest podzielna przez 5 oraz dokładnie jedna jest podzielna przez 2 (dla n ≥ 3).

Bez straty ogólności, załóżmy że \(\displaystyle{ 2 | s}\) oraz \(\displaystyle{ 5 | t}\)

Rozdzielmy sobie liczbę k na czynniki w ten sposób:

\(\displaystyle{ k = 2^a5^bk_1k_2}\) przy czym \(\displaystyle{ k_1}\) i \(\displaystyle{ k_2}\) są tak dobrane, że \(\displaystyle{ k_1 | l}\) oraz \(\displaystyle{ k_2 | l+1}\)

Korzystając z powyższych rozważań, możemy zapisać więc jak wyglądają nasze liczby s i t (czyli l i l+1) w rozkładzie na czynniki. Mianowicie:

\(\displaystyle{ s = 2^{n+a-2}k_1}\)
\(\displaystyle{ t = 5^{n+b}k_2}\)

Teraz, ponieważ z tego wynika, iż \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{t}{s} = \infty}\)

Więc istnieje takie N, że dla każdego n ≥ N, t > s + 2.
A to oznacza, że nasze równanie nie ma już rozwiązań dla n ≥ N.

Gdyby bowiem rozwiązanie takie istniało, to musiałoby zachodzić t > s + 2, a to jest niemożliwe, gdyż s = l i t = l+1

Analogicznie dowodzimy przypadek gdy \(\displaystyle{ 5 | s}\) oraz \(\displaystyle{ 2 | t}\)

Ja zrobilbym to tak:
\(\displaystyle{ \frac{k^{2}10^{2n}}{4}+k10^{n}+1-\frac{k^{2}10^{2n}}{4}=t^{2}}\)
Dla ulatwienia \(\displaystyle{ \frac{k10^n}{2}=a}\)
Równanie przyjmie postac \(\displaystyle{ (a+1)^{2}-a^{2}=t^{2}}\) (trójkąt pitagorejski)
Czyli to równanie bylo spelnione fla liczb calkowitych to przeciwprostokatna \(\displaystyle{ a+1=2l^{2}+2l+1}\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{k10^{n}}{4}=l(l+1)}\) widac ze nie ma rozwiązan dla l>k bo 10^n ma rozkklada sie na 2^n i 5^n. Tak to mniej wiecej wyglada.

czyli \(\displaystyle{ \frac{k10^{n}}{4}=l(l+1)}\) widac ze nie ma rozwiązan dla l>k bo 10^n ma rozkklada sie na 2^n i 5^n. Tak to mniej wiecej wyglada.

To nie jest prawdą. Np. dla: k = 156, l = 624 i n = 4 jest rozwiązanie, a przecież 156 jest mniejsze od 624

Anathemed pisze:Bez straty ogólności, załóżmy że \(\displaystyle{ 2 | s}\) oraz \(\displaystyle{ 5 | t}\)...
...Analogicznie dowodzimy przypadek gdy \(\displaystyle{ 5 | s}\) oraz \(\displaystyle{ 2 | t}\)

Prawie zrozumiałem. Nie wiem tylko dlaczego nie może być \(\displaystyle{ 10 | s}\) czy też \(\displaystyle{ 10 | t}\). A nie może być?

Pozdrawiam

JHN pisze:

Anathemed pisze:Bez straty ogólności, załóżmy że \(\displaystyle{ 2 | s}\) oraz \(\displaystyle{ 5 | t}\)...
...Analogicznie dowodzimy przypadek gdy \(\displaystyle{ 5 | s}\) oraz \(\displaystyle{ 2 | t}\)

Prawie zrozumiałem. Nie wiem tylko dlaczego nie może być \(\displaystyle{ 10 | s}\) czy też \(\displaystyle{ 10 | t}\). A nie może być?

Pozdrawiam

Masz rację, może być Ale dowód dla tych dwóch przypadków jest jeszcze prostszy - wtedy bowiem jedna z liczb: s albo t musi być stała

Anathemed,
No racja. Za szybko probowalem to zrobic