Pochodna z funkcji bazy Gaussa.

[GTO]

Witam wszystkich. Mam mały problem z obliczeniem pewnej pochodnej. Więc tak :

\(\displaystyle{ s_{a}(r)=N_{1}*\exp((-A(r-R_{a})^{2}) \\ gdzie \ N_{1}=(\frac{2A}{Pi})^{3/4}, \ r=(x,y,z) \ R_{a}=(X_{a},Y_{a},Z_{a}) \\ i \\ z_{a}(r)=N_{2}*(z-Z_{a})*\exp((-A(r-R_{a})^{2}) \\ \ gdzie \ N_{2}=4(\frac{A^{5}}{2Pi^{3}})^{1/4}\ , \ r \ i \ R_{a} \ j.w \\ \ i \ teraz \ wykazac \ zaleznosc \ z_{a}=A^{-1/2}\frac{\partial s_{a}}{\partial Z_{a}} \\ A=const}\)


No właśnie - jak to wykazać Wiem, ze to będzie zwykłe wyliczenie tylko nie wiem za bardzo jak się za to zabrać. Z góry dziękuje za każdą pomoc i pozdrawiam.

[Anathemed]

Zapiszmy sobie postać \(\displaystyle{ s_{a}(r)}\) po obliczeniu iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ (r - R_{a})*(r - R_{a})}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ (r - R_{a})*(r - R_{a}) = (x-X_{a})^2 + (y-Y_{a})^2 + (z-Z_{a})^2}\)

Więc mamy: \(\displaystyle{ s_a(r) = N_{1}exp(-A(x-X_{a})^2 + (y-Y_{a})^2 + (z-Z_{a})^2))}\)

Teraz wystarczy obliczyć pochodną cząstkową \(\displaystyle{ \frac{\partial s_{a}}{\partial Z_{a}}}\), korzystając ze wzoru na pochodną złożenia funkcji. Mając tą pochodną można już łatwo wykazać naszą zależność

[GTO]

Dokładnie na tym(tj. iloczynie skalarnym) sie właśnie zatrzymałem
Dzięki