Matematyka.pl

Witam,

Moim zadaniem jest rozwiązać następujące równanie rekurencyjne:
\(\displaystyle{ a_{n}=2 a_{n-1}+15 a_{n-2}+4 a_{n-3}-20 a_{n-4}}\)
Przy warunkach brzegowych: \(\displaystyle{ a_{0}=6}\),\(\displaystyle{ a_{1}=3}\),\(\displaystyle{ a_{2}=71}\),\(\displaystyle{ a_{3}=203}\).
Otrzymamy stąd równanie charakterystyczne - wielomian 4-tego stopnia. Wyznaczyłem jego pierwiastki (wykorzystałem schemat Hornera): \(\displaystyle{ \left( x+2\right) ^{2}\left( x-1\right)\left( x-5\right)}\)
Wiem, że w przypadku równania kwadratowego, jeśli występuje ten sam pierwiastek, zapisuje się rozw. ogólne postaci: \(\displaystyle{ a_{n}=\left( A+Bn\right) \alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest rzeczonym pierwiastkiem. Opierając się na tym fakcie, dla swojego przykładu zapisałem rozw. ogólne:
\(\displaystyle{ a_{n}=A\left( -2\right) ^{n}+nB\left( -2\right) ^{n}+C\left( -1\right) ^{n}+D\left( -5\right) ^{n}}\)
Moje podstawowe pytanie brzmi: czy tak zapisana postać rozw. ogólnego jest poprawna? Po podstawieniu wartości brzegowych otrzymuję: \(\displaystyle{ D=15.5; B=-59; A=59; C=-80.5}\)

Dzięki za pomoc!

Prawie: pierwiastkami nie sa \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ -5}\).

Ah, rzeczywiście, wyznaczone z równania charakterystycznego pierwiastki to \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 5}\), a w rozw. ogólnym podnoszę do potęgi \(\displaystyle{ n}\)-tej \(\displaystyle{ -1}\) i \(\displaystyle{ -5}\). Jest to oczywiście błąd z przeoczenia. Ale jak rozumiem, ogólnie moje podejście jest poprawne, w szczególności jeśli chodzi o pierwiastek podwójny? Co by było, gdyby trafił się pierwiastek potrójny \(\displaystyle{ x}\): miałbym \(\displaystyle{ A(x)^n + nB(x)^n + n^2C(x)^n}\) ?

tak