Pomorski konkurs matematyczny

Wojewódzkie. Regionalne. Miejskie. Szkolne. Klasowe;)
Tris
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 17 lip 2007, o 15:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: pole truskawek
Podziękował: 5 razy

Pomorski konkurs matematyczny

Post autor: Tris » 24 lip 2007, o 16:06

Wykaż, że jeżeli w liczbie trzycyfrowej środkowa cyfra jest równa sumie skrajnych cyfr, to liczba jest podzielna przez 11.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 571
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 173 razy

Pomorski konkurs matematyczny

Post autor: JHN » 24 lip 2007, o 16:11

Niech
\(\displaystyle{ x,(x+y),y}\) będą cyframi (dobrze określonymi) danej liczny \(\displaystyle{ n}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ n=100x+10(x+y)+y=110x+11y=11(10x+y}\)
A ponieważ w nawiasie mamy liczbę całkowitą, to dana liczba jest wielokrotnością liczby 11 i teza zadania jest prawdziwa

Pozdrawiam

Awatar użytkownika
Anathemed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 34 razy

Pomorski konkurs matematyczny

Post autor: Anathemed » 24 lip 2007, o 16:12

Jak naszą liczbę oznaczymy sobie: \(\displaystyle{ L = \overline{abc}}\) (a,b,c to cyfry),
I skorzystamy z założenia, że \(\displaystyle{ b = a + c}\), to dostaniemy:

\(\displaystyle{ L = \overline{abc} = 100a + 10b + c = 100a + 10(a+c) + c = 110a + 11c = 11(10a + c)}\) czyli 11 dzieli L, c.b.d.o.

Tris
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 17 lip 2007, o 15:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: pole truskawek
Podziękował: 5 razy

Pomorski konkurs matematyczny

Post autor: Tris » 24 lip 2007, o 16:18

Dziękuję i pozdrawiam

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Pomorski konkurs matematyczny

Post autor: max » 24 lip 2007, o 18:03

Ogólniej, ponieważ \(\displaystyle{ 10 \equiv -1 od{11}}\), to liczba:
\(\displaystyle{ L = \overline{k_{n}k_{n - 1}\ldots k_{1} k_{0}} = k _{0}\cdot 10^{0} + k_{1}\cdot 10^{1} + \ldots + k_{n-1}\cdot 10^{n-1} + k_{n}\cdot 10^{n}}\)
jest podzielna przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy suma współczynników przy potęgach dziesiątki o wykładnikach parzystych jest przystaje modulo 11 sumie współczynników stojących przy potęgach o wykładnikach nieparzystych.

edit. racja
Ostatnio zmieniony 24 lip 2007, o 20:33 przez max, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 571
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 173 razy

Pomorski konkurs matematyczny

Post autor: JHN » 24 lip 2007, o 18:54

max pisze:Ogólniej, [...] liczba[...]jest podzielna przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy suma współczynników przy potęgach dziesiątki o wykładnikach parzystych jest równa sumie współczynników stojących przy potęgach o wykładnikach nieparzystych.
Raczej przystaje modulo 11

Pozdrawiam

ODPOWIEDZ