Wartość bezwzględna

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
koala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 17 wrz 2005, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Terra Australis
Podziękował: 1 raz

Wartość bezwzględna

Post autor: koala » 24 lip 2007, o 14:37

Jak policzyć pochodną funkcji której postać jest następująca: \(\displaystyle{ |f(x)|}\)? Dlaczego można policzyć pochodną z funkcji \(\displaystyle{ f(x)=|x^{4}+2x{3}-3x^{2}|}\) a nie można obliczyć z \(\displaystyle{ f(x)=|log_{2}x|}\)? Ja się uczyłem, że jak funkcja posiada "ostrze" to nie istnieje pochodna, ale już sam nie wiem jak to do końca jest...
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 567
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 171 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: JHN » 24 lip 2007, o 15:12

koala pisze:Ja się uczyłem, że jak funkcja posiada "ostrze" to nie istnieje pochodna, ale już sam nie wiem jak to do końca jest...
Oczywiście - racja. Jeżeli wykres funkcji jest "złamany" lub "pionowy", to w tym punkcie funkcja nie posiada pochodnej!

Jeżeli \(\displaystyle{ f(x)=|\log_{2}x|}\),
to \(\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{array}{lcl} -\log_{2}x & \Leftarrow & x\in(0,1)\\
\log_{2}x & \Leftarrow& x\ge 1 \end{array}}\)

oraz \(\displaystyle{ f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl} \frac{-1}{x\cdot \ln{2}}& \Leftarrow & x\in(0,1)\\\\
\frac{1}{x\cdot \ln{2}} & \Leftarrow& x> 1 \end{array}}\)


Czyli dla \(\displaystyle{ x=1}\) pochodna tej funkcji nie istnieje. Ale dla pozostałych argumentów istnieje!

Pozdrawiam

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: setch » 24 lip 2007, o 20:53

Aby sprawdzić czy funckcja w której występuje wartość bezwzględna jest różniczkowalna w całej dziedzinie, to trzeba policzyć wartość pochodnej lewostronnej i prawostronnej w punkcie, w którym wartość bezwzględna zeruje się. Najlepeij robić to z definicji

\(\displaystyle{ f(x)=|x^2+2x-3| \\
\lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h \to 0^+} \frac{(1+h)^2+2(1+h)-3-0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2+4h}{h} = \lim_{h \to 0^+} h+4=4}\)


\(\displaystyle{ \lim_{h\to 0^-} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-(1+h)^2-2(1+h)+3-0}{h}= \lim_{h\to 0^-} \frac{-h^2-4h}{h} = \lim_{h\to 0^-} -h-4
=-4}\)

Z tego wynika ze pochdne lewstronne i prawostronne w pukcie są różne zatem pochodna \(\displaystyle{ f'(1)}\) nie istnieje a z tego wynika, że funkcja f nie jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Podobnie można sprawdzić czy istnieje \(\displaystyle{ f'(-3)}\)
Ostatnio zmieniony 27 lip 2007, o 10:51 przez setch, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 567
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 171 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: JHN » 24 lip 2007, o 21:22

setch pisze:... Najlepiej robić to z definicji
A gdyby tak:
\(\displaystyle{ f(x)=|x^2+2x-3| =\left\{\begin{array}{lcl}-x^2-2x+3&\Leftarrow&x\in(-3,1)\\
x^2+2x-3&\Leftarrow&x\in\left[(-\infty,-3>\cup}\)

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: setch » 24 lip 2007, o 21:54

JHN, Ty liczyłeś \(\displaystyle{ f'(3)}\) a ja \(\displaystyle{ f'(1)}\). Poza tym według twojego wzoru na pochodną, argumenty 1 i -3 nie należa do dziedziny a nie ma powodu, aby ich wykluczać.

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 567
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 171 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: JHN » 24 lip 2007, o 22:40

@setch Wnioskując z moich rachunków \(\displaystyle{ f'(1^+)=4}\). A u Ciebie prawostronna granica ilorazu różniczkowego w \(\displaystyle{ x=1}\) jest równa \(\displaystyle{ -4}\). To stoi w sprzeczności!
setch pisze:Poza tym według twojego wzoru na pochodną, argumenty 1 i -3 nie należa do dziedziny a nie ma powodu, aby ich wykluczać.
Ja tego nie twierdzę. Liczę pochodną (wygodnymi technikami) tam, gdzie ona na pewno istnieje; potem sprawdzam (rachunkiem granicznym), czy istnieje ona w pozostałych argumentach

Na przykład dla
\(\displaystyle{ y=f(x)=x\cdot |x|}\) określonej na dziedzinie rzeczywistej mamy

\(\displaystyle{ y'=f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}-2x&\Leftarrow x0\end{array}}\)

Ponieważ jednak
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^-}f'(x)= \lim_{x\to 0^+}f'(x)=0}\)

to \(\displaystyle{ f'(0)=0}\)
i ostatecznie

\(\displaystyle{ f'(x)=2|x|}\) dla wszystkich argumentów rzeczywistych

Pozdrawiam

[edit] @setch teraz jest OK.
Ostatnio zmieniony 27 lip 2007, o 17:17 przez JHN, łącznie zmieniany 1 raz.

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: soku11 » 25 lip 2007, o 01:27

\(\displaystyle{ x\cdot x=x^{2}}\) Tak w woli scislosci

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 567
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 171 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: JHN » 25 lip 2007, o 12:55

soku11 pisze:\(\displaystyle{ x\cdot x=x^{2}}\) Tak w woli scislosci
Nie do końca zrozumiałem.
Tak gwoli ścisłości, to w moim poście powyżej (co uznałem za oczywiste)
\(\displaystyle{ y=f(x)=x\cdot |x|=\left\{\begin{array}{ll}-x^2&\Leftarrow\quad x}\)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: soku11 » 25 lip 2007, o 13:22

Ehh sory zle spojrzalem :) Nie zauwazylem ze to f' napisales a nie f :/

koala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 17 wrz 2005, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Terra Australis
Podziękował: 1 raz

Wartość bezwzględna

Post autor: koala » 25 lip 2007, o 15:00

A jak wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji: \(\displaystyle{ f(x)=\frac{ln|x|}{\sqrt{|x|}}}\) ? Coś mi ten przykład nie wychodzi

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: soku11 » 25 lip 2007, o 15:31

Funkcja ma wiec postac:
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} \frac{ln(-x)}{\sqrt{(-x)}}\ dla\ x\in(-\infty;0)\\ \frac{lnx}{\sqrt{x}}\ dla\ x\in(0;+\infty) \end{cases}\\}\)

Pierwsza pochodna funkcji wyglada wiec tak:
\(\displaystyle{ f'(x)=\begin{cases} \frac{2+ln(-x)}{2x\sqrt{x}}\ dla\ x\in(-\infty;0)\\ \frac{2-lnx}{2x\sqrt{x}}\ dla\ x\in(0;+\infty)\end{cases}}\)

A druga:
\(\displaystyle{ f''(x)=\begin{cases} \frac{\sqrt{x}(-8-3ln(-x))}{4x^{3}}\ dla\ x\in(-\infty;0)\\
\frac{\sqrt{x}(-8+3lnx)}{4x^{3}}\ dla\ x\in(0;+\infty)\end{cases}}\)


Powinno byc OK. Dalej powinienes sobie poradzic POZDRO

koala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 17 wrz 2005, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Terra Australis
Podziękował: 1 raz

Wartość bezwzględna

Post autor: koala » 25 lip 2007, o 17:03

Mam jeszcze problem z policzeniem punktu przegięcia dla \(\displaystyle{ x (-\infty;0)}\). W tym miejscu coś mi się nie zgadza:
\(\displaystyle{ ln(-x)=-\frac{8}{3}}\) i z tego mi wychodzi \(\displaystyle{ x=e^\frac{8}{3}}\) a powinno \(\displaystyle{ x=-e^\frac{8}{3}}\)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: soku11 » 25 lip 2007, o 17:15

To cos chyba zle jest policzone, bo:
\(\displaystyle{ ln(-x)=-\frac{8}{3}\\
ln(-x)=lne^{-\frac{8}{3}}\\
x=-e^{-\frac{8}{3}}}\)


Czyli gdzies ze znakiem jest nie tak... Musisz poszukac. POZDRO

K4rol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 301
Rejestracja: 18 cze 2007, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Elbląg
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 7 razy

Wartość bezwzględna

Post autor: K4rol » 25 lip 2007, o 21:13

Podaj wszystkie elementy zbioru A
\(\displaystyle{ A=\{x: |x-4|=-2 x R\}\\
|x-4|=-2\\
|x-4|=\begin{cases}x-4\geqslant 0 \ \ x\geqslant 4\\x-4 -x+4=-2\\
x=2 x=6}\)

zbiór \(\displaystyle{ \phi}\)
gut?

koala
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 17 wrz 2005, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Terra Australis
Podziękował: 1 raz

Wartość bezwzględna

Post autor: koala » 25 lip 2007, o 21:55

Na pewno ma wyjść \(\displaystyle{ x=-e^{-\frac{8}{3}}}\) ?

ODPOWIEDZ