Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej

Post autor: Hania_87 » 24 lip 2007, o 13:26

Przeglądałam ostatnio zadnia z matur. To jest zadanie z matury rozszerzonej z roku 2005.

Oto jego treść:
Wykazać, bez użycia kalkulatora i tablic, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}\) jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie:
Zauważyłam, że:
\(\displaystyle{ (\sqrt{2}+1)^{3}=2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1=5\sqrt{2}+7}\)
oraz \(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)^{3}=2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1=5\sqrt{2}-7}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=\sqrt[3]{2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1}-\sqrt[3]{2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1}=\\\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^{3}}-\sqrt[3]{(\sqrt{2}-1)^{3}}=(\sqrt{2}+1)-(\sqrt{2}-1)=2}\)
Odpowiedź:\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=2}\)



W sumie zadanie jest proste, ale musiałam się nagimnastykować, by dojść do tego co zauważyłam, robiłam to metodą prób i błędów, tzn wyszłam \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}}\) i skorzystałam ze wzorów skróconego mnożenia \(\displaystyle{ (a+b)^{3}}\), założyłam że \(\displaystyle{ a=\sqrt{2}}\). Potem to samo zrobiłam tylko z minusem.
Jak to zrobić łatwiej i szybciej? Jaka jest metoda (to co zauważyłam)? Jak inaczej rozwiązać takie zadanie?


Temat poprawiłam.
Radzę zapoznać się z regulaminem.
ariadna
Ostatnio zmieniony 24 lip 2007, o 21:16 przez Hania_87, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Kris-0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 399
Rejestracja: 24 gru 2006, o 11:16
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 82 razy

Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej

Post autor: Kris-0 » 24 lip 2007, o 14:31

Myślę, że nie ma. W szkole na lekcji robiliśmy ta samą metodą z tą różnica, że były to zadania z wartością bezwzględną.

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 567
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 171 razy

Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej

Post autor: JHN » 24 lip 2007, o 15:34

Hania_87 pisze: Jak to zrobić łatwiej i szybciej? Jaka jest metoda (to co zauważyłam)? Jak inaczej rozwiązać takie zadanie?
Moim zdaniem zaprezentowana przez Ciebie jest prostsza, ale jeśli chcesz,to

Niech \(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=x}\) i \(\displaystyle{ x>0}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ \left(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\right)^3=x^3\\}\)
(korzystając z wersji wzoru uproszczonego mnożenia \(\displaystyle{ (a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)}\))

\(\displaystyle{ 5\sqrt{2}+7-5\sqrt{2}+7-3\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\cdot\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\cdot x=x^3\\
14-3\sqrt[3]{50-49}\cdot x=x^3}\)

co porządkuje się do postaci
\(\displaystyle{ x^3+3x-14=0\\
x^3-2x^2+2x^2-4x+7x-14=0\\
x^2(x-2)+2x(x-2)+7(x-2)=0\\
(x-2)(x^2+2x+7)=0\\
x=2\quad\vee\quad x\in\emptyset\qquad \textrm{bo}\quad\Delta=4-28}\)
Ostatnio zmieniony 24 lip 2007, o 22:10 przez JHN, łącznie zmieniany 1 raz.

Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej

Post autor: Hania_87 » 24 lip 2007, o 19:36

takie rozwiązanie było w kluczu odpowiedzi, a \(\displaystyle{ x^3=14-3x}\) wyznaczyłeś graficznie? A jakiś inny sposób?

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 567
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 171 razy

Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej

Post autor: JHN » 24 lip 2007, o 20:40

[quote="Hania_87"]... a \(\displaystyle{ x^3=14-3x}\) wyznaczyłeś graficznie?...[/quote]
Nie do końca zrozumiałem.
Równanie wielomianowe stopnia trzeciego można rozwiązać:
-) grupowaniem wyrazów (i tak to zrobiłem)
-) przez tw. o pierwiastku wymiernym (można znaleźć \(\displaystyle{ x=2}\) i na mocy tw. Bezoute'a podzielić przez \(\displaystyle{ (x-2)}\) a później poszukiwać pierwiastków wielomianu zredukowanego (w tym przypadku drugiego stopnia - czyli przez wyróżnik (\(\displaystyle{ \Delta}\)))
-) graficznie (nie wiem dlaczego, ale nie polecam)
[quote="Hania_87"]... A jakiś inny sposób?[/quote]
Na ten problem - nie znam innych; na równanie wielomianowe - są jeszcze, np. wzory Cardano...

Pozdrawiam

Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej

Post autor: Hania_87 » 24 lip 2007, o 21:19

trochę mnie zaćmiło
JHN pisze: Na ten problem - nie znam innych; na równanie wielomianowe - są jeszcze, np. wzory Cardano...

a jak to zrobić tym sposobem?

Awatar użytkownika
ariadna
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2702
Rejestracja: 22 maja 2005, o 22:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Olsztyn/Berlin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 642 razy

Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej

Post autor: ariadna » 24 lip 2007, o 21:21

Hania_87, google!

Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej

Post autor: Hania_87 » 24 lip 2007, o 21:40

rozumie pojęcia, ale tak mnie zaćmiło, że nie widzę jak to rozwiązać

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 567
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 171 razy

Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej

Post autor: JHN » 24 lip 2007, o 22:12

Przeczytaj jeszcze raz mój post - istotnie go zmieniłem. Jeśli będziesz miała jeszcze pytania, to sprecyzuj je , proszę, w oparciu o cytaty z niego.

Pozdrawiam

Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej

Post autor: Hania_87 » 24 lip 2007, o 22:24

Teraz to widzę, dziękuję za pomoc.
JHN pisze:na równanie wielomianowe - są jeszcze, np. wzory Cardano...
to mnie jeszcze zastanawia, jak to zrobić



Może ma ktoś inny pomysł, jak rozwiązać te zadanie w inny sposób...

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 567
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 171 razy

Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej

Post autor: JHN » 24 lip 2007, o 22:47

Hania_87 pisze:
JHN pisze:na równanie wielomianowe - są jeszcze, np. wzory Cardano...
to mnie jeszcze zastanawia, jak to zrobić
Google nie gryzą!
Pozdrawiam

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej

Post autor: Rogal » 24 lip 2007, o 22:55

Ja sam osobiście staram się stworzyć choćby system, który by choć czasem pozwalał upraszczać takie liczby, ale póki co dość nie mam wiele czasu na próby ; )

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6933
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2618 razy
Pomógł: 687 razy

Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej

Post autor: mol_ksiazkowy » 25 lip 2007, o 13:24

oj owszem , w tego typu zadankach, tzreba miec przed oczami wzor cardano, a wszystko idzie "po masle", tu akurat bedzie
\(\displaystyle{ -\frac{q}{2}=7}\), tj q=-14, zas

\(\displaystyle{ \frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}=50}\)



tj p=3
\(\displaystyle{ x=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}-\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}}\)
i
\(\displaystyle{ x^3+px+q=0}\)

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 567
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 171 razy

Wykaż, że wyrażenie jest równe liczbie całkowitej

Post autor: JHN » 25 lip 2007, o 15:47

mol_ksiazkowy pisze:...oj owszem , w tego typu zadankach, trzeba mieć przed oczami wzór Cardano, a wszystko idzie "po maśle", ...
i powrócimy do wartości podanej treścią zadania.

Pozdrawiam

ODPOWIEDZ