Wyznaczyć ekstrema funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Rojek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 22 lip 2007, o 20:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 7 razy

Wyznaczyć ekstrema funkcji

Post autor: Rojek » 24 lip 2007, o 12:00

Witam!
mam tu proste zadania ale nie wiem czemu wychodzi mi zly wynik ??: moze gdzies blad w obliczeniach zrobilem ale nie moge sie go doszukac
moze jak ktos z was mi pomoze rozwiazac to zadanie to w koncu dojde do bledu.Z gory dzieki i pozdrawiam

\(\displaystyle{ F(x,y)=8x^{3}+2xy^{2}-12xy-4}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Wyznaczyć ekstrema funkcji

Post autor: Amon-Ra » 24 lip 2007, o 12:29

Liczysz pochodne cząstkowe:

\(\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=24x^2+2y^2-12y \\ \frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=4xy-12x}\)

Jako, iż pochodne cząstkowe istnieją (będąc tak naprawdę klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{\infty}}\) na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)) korzystasz z warunku dostatecznego istnienia ekstremum i rozwiązujesz układ równań:

\(\displaystyle{ 24x^2+2y^2-12y =0 \\ 4xy-12x=0}\)

Układ jest dość prosty, otrzymujemy łatwo punkty:
\(\displaystyle{ (0,0) \\ (0,6) \\ ft(\frac{\sqrt{3}}{2},3\right) \\ ft(-\frac{\sqrt{3}}{2},3\right)}\)

Następnie obliczasz hesjan (macierz drugiej pochodnej) i sprawdzasz jego określoność w punktach otrzymanych z układu. Jeżeli hesjan będzie dodatnio określony - w rozpatrywanym punkcie jest minimum, gdy ujemnie - maksimum, gdy nieokreślony - brak ekstremum.

ODPOWIEDZ