Układ równań

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
Mersenne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1010
Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bytom/Katowice
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 303 razy

Układ równań

Post autor: Mersenne » 24 lip 2007, o 11:54

\(\displaystyle{ \begin{cases} y(x+y)^{2}=9\\y (x^{3}-y^{3})=7\end{cases}}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y \mathbb{R}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

smiechowiec
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 374
Rejestracja: 21 cze 2007, o 11:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łostowice
Pomógł: 146 razy

Układ równań

Post autor: smiechowiec » 24 lip 2007, o 14:04

Licząc wprost dochodzimy chyba do równania 4 stopnia.
Jedno rozwiązanie to x = 2 y = 1.
Można teraz dzielić przez ten pierwiastek otrzymując równanie 3 stopnia.

Awatar użytkownika
Anathemed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 34 razy

Układ równań

Post autor: Anathemed » 24 lip 2007, o 15:46

Po pierwsze zauważmy, że x,y > 0

Obliczmy z pierwszego równania wartość x:
Pierwsze równanie można przedstawić jako równanie kwadratowe zmiennej x z parametrem y w takiej postaci:
\(\displaystyle{ yx^2 + 2y^2x + y^3 - 9 = 0}\)
Stąd dostajemy: \(\displaystyle{ x = -y \pm 3y^{-\frac{1}{2}}}\)

Jednak ponieważ x,y > 0, więc możliwe jest tylko jedno rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x = -y + 3y^{-\frac{1}{2}}}\)

Dalej, wstawmy nasz rezultat do drugiego równania. Otrzymamy równanie jednej zmiennej:
\(\displaystyle{ y((3y^{-\frac{1}{2}}-y)^3 - y^3) = 7}\)

Po przemnożeniu "wszystkiego przez wszystko", otrzymujemy równanie:
\(\displaystyle{ 27y^{-\frac{1}{2}} - 27y + 9y{\frac{5}{2}} - 2y^4 - 7 = 0}\)

Nasze zadanie można więc sprowadzić do znalezienia miejsca zerowego funkcji:
\(\displaystyle{ f(y) = 27y^{-\frac{1}{2}} - 27y + 9y{\frac{5}{2}} - 2y^4 - 7}\)

Jednak po obliczeniu pochodnej funkcji f(x), okazuje się, iż pochodna ta jest ujemna na przedziele \(\displaystyle{ (0, )}\), czyli funkcja jest na tym przedziale malejąca co oznacza iż ma na tym przedziale co najwyżej jedno miejsce zerowe, gdyż funkcja powyższa jest na tym przedziale ciągła.

Ale, jak już przedmówca zauważył, miejscem zerowym naszej funkcji jest liczba \(\displaystyle{ y = 1}\). I jest to jedyne miejsce zerowe, co oznacza, że jedynym rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = 2, y = 1

Koniec

ODPOWIEDZ