Wykazanie nierówności prawdziwości.

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
dawido000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 278
Rejestracja: 17 lut 2007, o 18:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 42 razy

Wykazanie nierówności prawdziwości.

Post autor: dawido000 » 23 lip 2007, o 14:38

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+ac+bc}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Anathemed
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 12 lip 2007, o 21:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 34 razy

Wykazanie nierówności prawdziwości.

Post autor: Anathemed » 23 lip 2007, o 14:42

Prawdą jest, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) qslant 0}\)

Gdy skorzystasz jeszcze z tego, że \(\displaystyle{ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}\), to otrzymasz szukaną nierówność

dawido000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 278
Rejestracja: 17 lut 2007, o 18:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 42 razy

Wykazanie nierówności prawdziwości.

Post autor: dawido000 » 23 lip 2007, o 15:40

Ale jak to? Z czego to wszystko wyszło?

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Wykazanie nierówności prawdziwości.

Post autor: Rogal » 23 lip 2007, o 15:50

Nooo, trochu za szybko kolega zadanie zrobił ; )
Raczej trzeba by wyjść tradycyjniej i udowodnić, że lewa strona minus prawa strona jest zawsze nieujemna : )
\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - ac - bc = \frac{1}{2}a^{2} - ab + \frac{1}{2}b^{2} + \frac{1}{2}a^{2} - ac + \frac{1}{2}c^{2} +\frac{1}{2}b^{2} - bc + \frac{1}{2}c^{2} = \frac{1}{2} (a-b)^{2} + \frac{1}{2} (a-c)^{2} + \frac{1}{2} (b-c)^{2} = \frac{1}{2} [(a-b)^{2} + (a-c)^{2} + (b-c)^{2}]}\)
A wiemy, że suma kwadratów liczb rzeczywistych jest nieujemna, co dowodzi naszej nierówności.

Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

Wykazanie nierówności prawdziwości.

Post autor: Hania_87 » 23 lip 2007, o 15:52

trzeba kombinować w takich zadaniach, coś dodać coś odjąć by wyszło, a było ok.
np \(\displaystyle{ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\), a mamy do dyspozycji \(\displaystyle{ a^2-ab+b^2}\) więc mnożymy i dzielimy przez 2, dlatego przed nawiasem mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

ODPOWIEDZ