Granice funkcji

[Rojek]

Witam Was wszystkich i proszę o pomoc mam parę przykładów które nie chcą mi wyjść nie wiem co źle robie, może Wy mi jakoś pomożecie z góry dzięki

\(\displaystyle{ lim_{x}\to\infty}\)\(\displaystyle{ \frac{x^{2}e^{x}-2x}{x^{2}+4}}\)


\(\displaystyle{ lim_{x}\to1}\)\(\displaystyle{ \frac{xln(2x-1)}{3x-3}}\)

\(\displaystyle{ lim_{x}\to\infty}\)\(\displaystyle{ \frac{x^{2}+2x+x}{xe^{x}}}\) ->caly licznik jest pod pierwiastkiem

[Rogal]

Popraw troszku zapis - \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}}\) i jak licznik ma być pod pierwiastkiem, to go tam dopisz przecież ; )
A co do zadań, to najważniejsze pytanie - korzystamy z reguły de l'Hospitala, czy nie wolno?

[Anathemed]

Ad1) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}e^{x}-2x}{x^{2}+4}}\) = (dzielimy licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ x^2}\)) = \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}-\frac{2}{x}}{1 + \frac{4}{x^2}}}\), licznik zmierza do nieskończoności (bo \(\displaystyle{ e^x}\) zmierza do nieskończoności), mianownik zmierza do 1, więc całość z ilorazu granic zmierza do nieskończoności.

Ad2) Wystarczy skorzystać z twierdzenia de'Hospitala, wtedy wszystko pięknie wychodzi... O ile możemy użyć tak "zaawansowanej" techniki
Granica wychodzi wtedy \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), o ile się nie pomyliłem w rachunkach...

Ad3) Robisz podobnie jak pierwsze, tylko że dzielisz licznik i mianownik przez x. Wtedy licznik zmierza do 1, mianownik zmierza do nieskończoności, czyli całość zmierza do zera

[Rojek]

wielkie dzieki za pomoc

[max]

W drugim bezpieczniej będzie podstawić \(\displaystyle{ t = x - 1}\) i skorzystać z ciągłości funkcji \(\displaystyle{ x \mapsto \ln x}\):
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0}\frac{(t + 1)\ln(1 + 2t)}{3t} = \lim_{t\to 0}(t + 1)\ln(1 + 2t)^{\frac{1}{3t}} =\\
= 1\cdot \ln e^{2/3} = \frac{2}{3}}\)
Chyba, że bez dowodu przyjmujemy, że:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1}\)
z której to granicy musimy skorzystać licząc pochodną funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto \ln x}\)