Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f(x)=1-2\left| x\right| , a _{1}=a, a _{n+1}=f(a _{n})}\) dla n należącego do liczb naturalnych. Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele takich liczb \(\displaystyle{ a \in <-1,1>}\) że ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest zbieżny.

Jak to zrobić? Udało mi się wykazać indukcyjnie, że dla takiego a, wszystkie \(\displaystyle{ a_{n} \in <-1,1>}\). Co zrobić dalej? Dowód monotoniczności już mi nie wychodzi, więc może trzeba to jakoś inaczej?

Jak się zdaje dla \(\displaystyle{ a}\) postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{2^k}-1}\) ciąg zbiega do \(\displaystyle{ -1}\).

Q.

A jak to wykazać? Bo badanie monotoniczności też chyba nie da tutaj rezultatu.

Edit
Udowodniłem to indukcyjnie, mam nadzieję że to poprawna metoda w tym przypadku

Nie wiem czy taką indukcję miałeś na myśli, ale zachodzi \(\displaystyle{ f\left( \frac{1}{2^k}-1\right) = \frac{1}{2^{k-1}}-1}\), więc przy takim punkcie startowym dojdziemy do \(\displaystyle{ 0}\), a potem po paru krokach ciąg zrobi się stały, więc i zbieżny.

Q.