Matematyka.pl

Na prostej l o równaniu 2x-3y+4=0 wyznacz punkt, którego odległość od punktu A(0;0) jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą odległość.

Umieszczaj tematy w odpowiednich działach. Ten przeniosłam.

Jeśli chodzi o rozwiąznanie to korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej, bo właśnie to jest najkrótszy z odcinków łączących prostą z punktem.

\(\displaystyle{ d=\frac{|2\cdot 0+(-3)\cdot 0+4|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{4}{\sqrt{13}}=\frac{4\sqrt{13}}{13}}\)

ale to ma być w optymalizacji ;/ , nie po to każą obliczać najmniejszą odległość, a odcinek ten chyba nie jest najmniejszy , nie wiem , w kążdym bądź razie miałem to zroić w optymalizacji, ale dzięki za zainteresowanie

Prosta jest ustalona, i punkt też. I chyba powszechnie wiadomo, ze najkrótsza odleglość punktu od prostej to odcinek prostopadły do prostej łączący punkt z prostą. Chyba że ten fakt trzeba wykazać.

[ Dodano: Sob Lut 12, 2005 5:56 pm ]
No to podchodzimy do zadania z innej mańki

Połączmy odcinkiem punkt i prostą. Otrzymujemy odcinek o końcach A=(0,0) i \(\displaystyle{ P=(x,\frac{2}{3}x+\frac{4}{3})}\).
Ze wzoru na odległość dwóch punktów otrzymujemy:
\(\displaystyle{ d=\sqrt{(x-0)^2+(\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}-0)^2}=\frac{1}{3}\sqrt{13x^2+16x+16}}\)
Teraz należy obliczyć pochodną:
\(\displaystyle{ [\frac{1}{3}\sqrt{13x^2+16x+16}]^\prime=\frac{13x+8}{3\sqrt{13x^2+16x+16}}}\)

Pochodna równa zero gdy licznik jest równy zero czyli:
13x+8=0
x=-8/13

Wystarczy obliczyć drugą współrzędną podstawiając do wzoru:
\(\displaystyle{ y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}}\)

Trochę przeskoków było, ale myślę że sobie z nimi poradzisz.