Matematyka.pl

Witajcie!

Kilka granic, prawdopodobnie błąd w odpowiedzi...

\(\displaystyle{ 1. \lim_{n\to\infty}=\sqrt{n^{10}-2n^{2}+2}=\lim_{n\to\infty}=\sqrt{n^{10}-2n^{2}+2}\cdot \frac{\sqrt{n^{10}-2n^{2}+2}}{\sqrt{n^{10}-2n^{2}+2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{10}-2n^{2}+2}{\sqrt{n^{10}-2n^{2}+2}}=\frac{n^{5}}{1}=\infty}\)
lub można się chyba ,,wykpić" i od razu \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}=\sqrt{n^{10}-2n^{2}+2}=\lim_{n\to\infty}n^{5}\sqrt{1-0-0}=\infty}\)
Gdzie skopałem? W odpowiedzi jest \(\displaystyle{ 1}\) Czy jednak błąd w książce?
\(\displaystyle{ 2. \lim_{n\to\infty}=\sqrt{n(n-\sqrt{n^{2}-1})}=\lim_{n\to\infty}n\sqrt{(1-\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}})}=\lim_{n\to\infty}=n\cdot 0=0}\)
lub \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}=\sqrt{n(n-\sqrt{n^{2}-1})}=\lim_{n\to\infty}n\sqrt{(1-\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}})}\cdot \frac{\sqrt{(1-\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}})}}{\sqrt{(1-\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}})}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n\cdot 0}{0}}\)
czyli jest jeszcze gorzej, bo... w odpowiedzi jest \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ 3. \lim_{n\to\infty}=(\frac{n^{2}+2}{2n^{2}+1})^{n^{2}}=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1-n^{2}}{2n^{2}+1})^{n^{2}}=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{\frac{2n^{2}+1}{1-n^{2}}})^{\frac{(2n^{2}+1)\cdot n^{2}}{1-n^{2}}}=\lim_{n\to\infty}e^{n^{2}\cdot \frac{1-n^{2}}{2n^{2}+1}}=e^{\frac{1-n^{2}}{2}}}\)
Przypuszczam że skopałem... miałem nawet gorsze obliczenia, jeszcze większe cuda. Nie mniej, odpowiedź w książce to \(\displaystyle{ e^{\frac{3}{2}}}\)

1) \(\displaystyle{ \infty}\) (druga wersja jest wygodniejsza)

2) Sprzężenie pod długim pierwiastkiem.

Nie mogłeś kończyć bo symbole nieoznaczone miałeś.

3) masz symbol \(\displaystyle{ 0,5^{\infty}}\) szacuj.

No dobra, czyli w pierwszym jest błąd książki.
W drugim już widzę... wystarczyło tylko się odważyć i pójść drogą wzorów skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ \sqrt{n(n-\sqrt{n^{2}-1})\cdot \frac{n+\sqrt{n^{2}-1}}{n+\sqrt{n^{2}-1}}}=\sqrt \frac{n}{n(1+\sqrt{1-\frac{1}{n^{2}}})}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\)
A trzeciego nie rozumiem. Powinno mi tyle wyjść?
Dodam, że wyrażenie \(\displaystyle{ ( \frac{n^{2}+2}{2n^{2}+1})^{n^{2}}}\) jest do potęgi n kwadrat, a nie razy n kwadrat bo chyba nie jest to dość czytelne.

3) Wszystko jest czytelne.
Policz granicę \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+2}{2n^2+1}}\)