Matematyka.pl

Rozwinąć funkcję w szereg Maclaurina
a) \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{(1+x)^{3}}\)
b) \(\displaystyle{ \ln (1+e^{x})}\)
Najlepiej bez liczenia kolejnych pochodnych. Jakieś wskazówki?

Wskazówka: poszukaj.

<- wzór Taylora (ogólny), szereg Maclaurina (czyli Taylor w \(\displaystyle{ x _{0}=0}\)), a nawet gotowe rozwinięcia niektórych funkcji.
W tym \(\displaystyle{ (x+1) ^{\alpha}}\).

gdyby informacja z wikipedii mi wystarczyła to bym nie pisała..
Rozwinięcie \(\displaystyle{ (1+x)^{3}}\) to akurat żeden problem, ale co z tym pierwiastkiem?

A co do logarytmu to mogę w rozwinięcie funkcji ln(1+x) w szereg w miejsce "x" wstawic te \(\displaystyle{ e^{x}}\)?

(a)
Raczej nie ma innego sposobu niż obliczyć te pochodne, ale one wychodzą przyzwoite. Jeśli wystarczy ci skorzystanie z podanego wzoru, to należy wziąć \(\displaystyle{ \alpha = \frac{3}{2}.}\)

(b)
To jest raczej trudne.

Zaproponowana przez ciebie metoda wydaje się naturalna, ale trudno mi nawet wyobrazić sobie, jaki szereg byłby rezultatem takiej operacji, a tym bardziej udowodnić, że ten szereg to w istocie szereg Maclaurina funkcji \(\displaystyle{ \ln( 1+e^x ).}\)

Nie mam do tej części żadnego pomysłu, ale przy użyciu metod analizy zespolonej można pokazać, że promieniem zbieżności tego szeregu jest \(\displaystyle{ \pi.}\) Oznacza to, że jeśli

\(\displaystyle{ \ln( 1 + e^x ) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot x^n,}\)

to

\(\displaystyle{ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{1}{\pi}.}\)

Poza tym

\(\displaystyle{ \ln( 1+e^x ) - \frac{x}{2} = \ln \left( e^{\frac{x}{2}} + e^{-\frac{x}{2}} \right)}\)

jest funkcją parzystą, zatem wszystkie współczynniki o nieparzystych indeksach są równe zero - z wyjątkiem \(\displaystyle{ a_1,}\) który wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}.}\)


Można by zaatakować w ten sposób:

\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{e^x}{1+e^x} = \frac{1}{1+e^{-x}}}\)

zatem jeśli

\(\displaystyle{ f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n \cdot x^n \\[1ex]
1+e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} c_n \cdot x^n,}\)

to

\(\displaystyle{ \left( \sum_{n=0}^{\infty} b_n \cdot x^n \right) \left( \sum_{n=0}^{\infty} c_n \cdot x^n \right) = 1,}\)

tj.

\(\displaystyle{ $ \begin{alignat*}{3}
b_0 c_0 & = 1 \\[1ex]
\sum_{k=0}^n b_k c_{n-k} & = 0 & \text{ dla } n \ge 1.
\end{alignat*}}\)

Dostajemy nieskończony układ równań, gdzie \(\displaystyle{ c_n}\) są znane. Można stąd wyliczać kolejne \(\displaystyle{ b_n}\) i próbować zauważyć jakąś regułę, a ze współczynników \(\displaystyle{ b_n}\) funkcji \(\displaystyle{ f'}\) można odzyskać współczynniki \(\displaystyle{ a_n}\) funkcji \(\displaystyle{ f.}\) Ale nie wiem, czy dostanie się coś sensownego.

Dziękuje Ci za odpowiedz:

co do a) to tak naprawdę od samego począrku mysłałam właśnie o tym żeby wziąć \(\displaystyle{ \alpha=\frac{3}{2}}\) tyle ,że we wzorze jest silnia i to treoche tak nie naturalnie wygląda ten ułamek, można tak wogole zapisac?

Definiuje się

\(\displaystyle{ \binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha \cdot (\alpha - 1) \cdot \ldots \cdot (\alpha - n + 1)}{n!}}\)

i wtedy nie ma znaczenia, że \(\displaystyle{ \alpha}\) nie jest całkowite, za to \(\displaystyle{ n}\) musi być całkowite nieujemne.