Matematyka.pl

Witam posiadam dość ciekawy przykład granicy ciągu do policzenia, bardzo proszę o wskazówki, jak się za to zabrać

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n+1]{3n+2}}\)

generalnie próbowałam to jakoś przekształcać, ale nie wiem jak sobie poradzić z takim dziwnym stopniem pierwiastka, z góry dzięki za pomoc

Generalnie to \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1}\).

Wsk. Gdy \(\displaystyle{ n}\) dąży do nieskończoności, to \(\displaystyle{ 2n+1}\) tez.

znasz granice \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n] {n}}\)?

pyzol pisze:Generalnie to \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1}\).

To wiem, ale czy to wystarcza tu, stopień pierwiastka i to co jest pod pierwiastkiem to nie jest to samo ;

No to trzeba by jakoś wykorzystać to, co już wiesz, np. stosując twierdzenie o trzech ciągach, chociażby tak:
\(\displaystyle{ 1<\sqrt[2n+1]{3n+2}< \sqrt[2n+1]{4n+2}= \sqrt[2n+1]{2} \cdot \sqrt[2n+1]{2n+1}}\)
I teraz jeżeli wiesz, że dla dowolnej stałej dodatniej \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a}=1}\), a także \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n}=1}\), to granice podciągów są takie same, więc ten iloczyn po prawej dąży do \(\displaystyle{ 1}\).