różniczkowalność logarytmu głównego

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
Awatar użytkownika
leszczu450
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

różniczkowalność logarytmu głównego

Post autor: leszczu450 » 21 lis 2015, o 14:08

Cześć!

Mam udowodnić, że \(\mathrm{Log}(z)\) nie jest różniczkowalny na \(D= \left\{ z , \ \Re (z) <0 , \ \Im (z) = 0\right\}\). Wybrałem dowolne \(a<0\) należące do \(\RR\). Wskazałem dwa ciągi \(z_n=a+ \frac{i}{n}\) oraz \(z_n'=a- \frac{i}{n}\). Oba zbieżne do \(a\). Wówczas \(\lim_{n \to \infty } \mathrm{Log}(z_n) \neq \lim_{n \to \infty} \mathrm{Log}(z_n')\) gdyż argument główny w jednym przypadku wynosi \(\pi\), a w drugim \(- \pi\). Stąd wnioskuje, że \(\mathrm{Log}\) nie jest ciągły na \(D\). A to pociąga brak różniczkowalności na \(D\).

Czy wszystko robię poprawnie?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8465
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

różniczkowalność logarytmu głównego

Post autor: Dasio11 » 21 lis 2015, o 16:04

Poprawnie, ale przydałoby się precyzyjniej. Argument główny czego wynosi \(\pi\)? Korzystasz z jakiegoś wzoru na \(\mathrm{Log}\)?

Awatar użytkownika
leszczu450
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

różniczkowalność logarytmu głównego

Post autor: leszczu450 » 22 lis 2015, o 01:06

Dasio11, oczywiści. Korzystam ze wzorku \(\mathrm{Log}(z) = \ln|z| + i \mathrm{Arg}(z)\). Mam wówczas na myśli \(\mathrm{Arg}(z_n)\) oraz \(\mathrm{Arg}(z_n')\).

ODPOWIEDZ