różniczkowalność logarytmu głównego

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

różniczkowalność logarytmu głównego

Post autor: leszczu450 »

Cześć!

Mam udowodnić, że \(\displaystyle{ \mathrm{Log}(z)}\) nie jest różniczkowalny na \(\displaystyle{ D= \left\{ z , \ \Re (z) <0 , \ \Im (z) = 0\right\}}\). Wybrałem dowolne \(\displaystyle{ a<0}\) należące do \(\displaystyle{ \RR}\). Wskazałem dwa ciągi \(\displaystyle{ z_n=a+ \frac{i}{n}}\) oraz \(\displaystyle{ z_n'=a- \frac{i}{n}}\). Oba zbieżne do \(\displaystyle{ a}\). Wówczas \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \mathrm{Log}(z_n) \neq \lim_{n \to \infty} \mathrm{Log}(z_n')}\) gdyż argument główny w jednym przypadku wynosi \(\displaystyle{ \pi}\), a w drugim \(\displaystyle{ - \pi}\). Stąd wnioskuje, że \(\displaystyle{ \mathrm{Log}}\) nie jest ciągły na \(\displaystyle{ D}\). A to pociąga brak różniczkowalności na \(\displaystyle{ D}\).

Czy wszystko robię poprawnie?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

różniczkowalność logarytmu głównego

Post autor: Dasio11 »

Poprawnie, ale przydałoby się precyzyjniej. Argument główny czego wynosi \(\displaystyle{ \pi}\)? Korzystasz z jakiegoś wzoru na \(\displaystyle{ \mathrm{Log}}\)?
Awatar użytkownika
leszczu450
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4414
Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1589 razy
Pomógł: 364 razy

różniczkowalność logarytmu głównego

Post autor: leszczu450 »

Dasio11, oczywiści. Korzystam ze wzorku \(\displaystyle{ \mathrm{Log}(z)
= \ln|z| + i \mathrm{Arg}(z)}\)
. Mam wówczas na myśli \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(z_n)}\) oraz \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}(z_n')}\).
ODPOWIEDZ