Matematyka.pl

Cześć. Mam problem z zadaniami na wyznaczanie wyrazu ogólnego ciągu. Chodzi mi o przykłady typu:

1) \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 8} +....+ \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}}\)

2) \(\displaystyle{ a_{n}= \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} +....+ \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}}\)

Czy jest jakaś metoda na ten typ zadań czy po prostu trzeba się domyślić jaki jest wzór i udowodnić indukcyjnie? Z góry dziękuję za pomoc

Można zapisać najpierw wzór:

\(\displaystyle{ a_{n} = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(3i-1)(3i+2)} = \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\frac{1}{3}}{3i-1}+\frac{-\frac{1}{3}}{3i+2}\right) =}\)

\(\displaystyle{ =\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\frac{1}{3}}{3i-1}\right) + \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{-\frac{1}{3}}{3i+2}\right) = *}\)

a następnie zauważyć że drugi z szeregów da się zapisać inaczej :

\(\displaystyle{ * = \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\frac{1}{3}}{3i-1}\right) + \sum_{i=2}^{n+1}\left(\frac{-\frac{1}{3}}{3i-1}\right)}\)

Z tego wynika, że prawie wszystko się wzajemnie zeruje i ostatecznie zostaje tylko pierwszy wyraz pierwszego szeregu i ostatni drugiego.

Czyli mamy:

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}}{2} + \frac{-\frac{1}{3}}{3(n+1)-1} = \frac{n}{6n+4}}\)


Indukcji nie trzeba.