Matematyka.pl

Witam serdecznie,
mam zadanie wyznaczyć liczbę rozwiązań układu równań z parametrem \(\displaystyle{ p \in \mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x-y+3z+3w=1\\x-4y+p^{2}z+5w=3\\6x+4y-6z+2w=p+1 \end{array}}\)

Chcę to zrobić z twierdzenia Kroneckera-Capellego.
Wiem, że trzeba to zrobić licząc rzędy macierzy głównej i macierzy uzupełnionej, a potem
zależnie od wartości tych rzędów podać odpowiedź.

Więc tak: policzyłem rząd macierzy głównej (A) tego układu i wyszło mi, że dla:

\(\displaystyle{ p \in \mathbb{R} \setminus \lbrace-3,3 \rbrace \ \ \ \ \ r(A)=3 \\p \in \lbrace-3,3 \rbrace \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ r(A)=2}\)

Teraz powinienem policzyć rząd macierzy uzupełnionej (U), tylko właśnie zacinam się w tym momencie:

\(\displaystyle{ r(U)=1+r\left[\begin{array}{ccc}-7&p ^{2}-12 &-1\\14&6&p+5\end{array}\right]}\)

Nie wiem, który wyznacznik (minor) stopnia 2x2 wybrać (i przyrównać do zera), bo przecież każdy będzie w inny sposób zależał od p.

Pozdrawiam i dziękuję za pomoc

EDIT:

Pomyślałem jeszcze nad tym trochę i policzyłem wszystkie 3 możliwe minory w tym rzędzie macierzy uzupełnionej i wydaje mi się, że liczba rozwiązań tego układu równań jest następująca:

\(\displaystyle{ p \in \mathbb{R} \setminus \lbrace-3,3 \rbrace \ \ \infty \ ilosc \ rozwiazan \ zalezna \ od \ jednego \ parametru\\p =-3 \ \ \infty \ ilosc \ rozwiazan \ zalezna \ od \ dwoch \ parametrow \\p =3 \ uklad \ rownan \ sprzeczny}\)

Byłbym wdzięczny gdyby ktoś mógł to potwierdzić.

1. Rząd macierzy rozszerzonej nie może być większy niż liczna równań, więc dla \(\displaystyle{ p\in\RR\setminus\{-3;3\}}\) rząd macierzy rozszerzonej jest równy 3.
2. Pozostaje zatem sprawdzić \(\displaystyle{ p=-3}\) i \(\displaystyle{ p=3}\), dla których rząd macierzy głównej jest równy 2.
   Ja robiłem to metodą eliminacji Gaussa.
   1. Dla \(\displaystyle{ p=-3}\) rząd macierzy rozszerzonej jest równy 2 – układ nie jest sprzeczny.
   2. Dla \(\displaystyle{ p=3}\) rząd macierzy rozszerzonej jest równy 3 – układ jest sprzeczny.

3. jeremaya pisze:\(\displaystyle{ (U)=1+\mbox{r}{\red{\mbox{z}}}\left[\begin{array}{ccc}-7&p ^{2}-12 &-1\\14&6&p+5\end{array}\right]}\)
   Nie wiem, który wyznacznik (minor) stopnia 2x2 wybrać ...

   Aby rząd macierzy powyżej był równy 2, to co najmniej jeden z jej minorów stopnia 2 musi być różny od zera. Jest tak dla \(\displaystyle{ p=3}\).
   Dla \(\displaystyle{ p=-3}\) wszystkie trzy minory stopnia 2 są równe 0.

Moje podsumowanie jest takie:

• Dla \(\displaystyle{ p=3}\) układ jest sprzeczny.
  Dla \(\displaystyle{ p\neq3}\) układ jest nieoznaczony.
  • Dla \(\displaystyle{ p=-3}\) rozwiązanie układu zależy od parametru p i dwóch parametrów wewnętrznych (nadmiarowych zmiennych).
    Dla \(\displaystyle{ p\neq-3\ \wedge\ p\neq3}\) rozwiązanie układu zależy od parametru p i jednego parametru wewnętrznego (nadmiarowej zmiennej).