Matematyka.pl

Zastanawiam się,w jaki sposób badać niezależność zdarzeń gdy zdarzenia \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) są rodzinami zdarzeń.

Wiadomo że :
\(\displaystyle{ P(A)\cdot P(B)=P(A) \cap P(B)}\)
\(\displaystyle{ P(A)\cdot P(C)=P(A) \cap P(C)}\)
\(\displaystyle{ P(C)\cdot P(B)=P(C) \cap P(B)}\)

Jeśli te trzy warunki zostaną spełnione mamy doczynienia z zdarzeniami niezależnymi. Mój problem polega na tym że \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) są rodzinami zdarzeń i nie za bardzo wiem jak to podstawić.

\(\displaystyle{ P({\left\{ \omega_1 \right\} ) = \frac18}\)
\(\displaystyle{ P( {\left\{ \omega_2 \right\} ) = P({\left\{ \omega_3 \right\} ) = P({\left\{ \omega_4 \right\} ) =\frac{ 3}{16}}\)
\(\displaystyle{ P({\left\{ \omega_5 \right\} ) =\frac{ 5}{16}}\)

\(\displaystyle{ A={\left\{\omega_1,\omega_2, \omega_3 \right\}}\)
\(\displaystyle{ B={\left\{\omega_1,\omega_2, \omega_4 \right\}}\)
\(\displaystyle{ C={\left\{\omega_1,\omega_3, \omega_4 \right\}}\)

Jeśli dla przykładowo \(\displaystyle{ P(A)\cdot P(B)}\) wymnożę wszystkie omegi ze sobą czyli \(\displaystyle{ \left( \frac18\right) ^2 \cdot \left( \frac{ 3}{16}\right) ^4}\) wyjdzie mi zaniedbywalnie mała liczba która napewno nie jest \(\displaystyle{ \frac18}\) czyli przekrojem. Mam wrażenie jednak że robię to źle. Zapisałam do potęgi aby zapis był bardziej przejrzysty.

Mam udowodnić że \(\displaystyle{ P(A \cap B \cap C) = P(A\cdot B\cdot C)}\) ni w ząb mi nie wyjdzie tak, jak ja liczę. Dlatego wnioskuję że źle to zliczam. Mam pokazać że mimo iż powyższa równość zachodzi zdarzenia, nie są niezależne. Z tym że nie są niezależne powiedzmy że mi się udało, ale co z tego jeśli sposób nie jest poprawny?

\(\displaystyle{ P(A)=P(\left\{ \omega_1,\omega_2, \omega_3\right\} )=\frac{1}{8}+\frac{3}{16}+\frac{3}{16}=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ P(B)=P(\left\{ \omega_1,\omega_2, \omega_4\right\} )=\frac{1}{8}+\frac{3}{16}+\frac{3}{16}=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ P(C)=P(\left\{ \omega_1,\omega_2, \omega_3\right\} )=\frac{1}{8}+\frac{3}{16}+\frac{3}{16}=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ A \cap B=\left\{ \omega_1,\omega_2\right\}}\)

\(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(\left\{ \omega_1,\omega_2\right\})=\frac{1}{8}+\frac{3}{16}=\frac{5}{16}}\)

Dalej dasz radę sama...

P.S. Dobrze, że Ty rozumiesz ten swój podpis bo ja nie mam pojęcia o co w nim chodzi. Domyślam się tylko, że xx i xy to chromosomy odpowiadające za płeć...