Matematyka.pl

Witam. Nie mogę poradzić sobie z jednym zagadnieniem.

Transformacja \(\displaystyle{ L}\) zamienia funkcję \(\displaystyle{ f(x)}\) w nową funkcję \(\displaystyle{ F(s)}\) w poniższy sposób.
\(\displaystyle{ L \left\{ f(x)\right\} = f(0) \cdot s = F(s)}\)

Jak będzie wyglądała transformacja odwrotna (jeśli mamy dane \(\displaystyle{ F(s)}\) i szukamy \(\displaystyle{ f(x)}\))?

\(\displaystyle{ L ^{-1} \left\{ F(s) \right\} = ??? = f(x)}\)

Nie da się znaleźć jednoznacznie takiej "transformaty odwrotnej" (jak np. dla transformaty Laplace'a, która jest różnowartościowa). Twoja transformata nie jest różnowartościowa. Np. ile wynosi dla funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x^n+1}\)?

Sprawę można naprawić wprowadzając następującą relacją równoważności: niech \(\displaystyle{ f\sim g\iff f(0)=g(0)}\). Rozważając klasy abstrakcji względem tej relacji otrzymamy różnowartościowość i można by liczyć transformatę odwrotną. Jeśli \(\displaystyle{ F(s)=\alpha s}\), to transformatę odwrotną będzie stanowiła klasa abstrakcji wyznaczona np. przez funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\alpha}\)

A tak nawiasem może znasz jakieś ciekawe wyprowadzenie transformaty odwrotnej Laplace'a?

Nie znam. Oczywiście znam wzór. Możesz spróbować go scałkować.

Ogólnie ostatnio zainteresowało mnie szukanie transformat odwrotnych, do jakiejś konkretnie danej transformaty... jeśli miałby ktoś coś do powiedzenia w tym temacie, byłbym bardzo wdzięczny. Pozdrawiam