Matematyka.pl

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1,X_2,\dots,X_n,\dots}\) są niezależne o jednakowym rozkładzie

\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X_n=0)=\mathbf{P}(X_n=1)=\mathbf{P}(X_n=2)=\mathbf{P}(X_n=3)=\frac{1}{4}.}\)

Niech \(\displaystyle{ Y_0=3}\) oraz niech dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,\dots}\) zachodzi

\(\displaystyle{ Y_n=\begin{cases} 3 &\text{gdy } X_n=3\\\min(Y_{n-1},X_n) &\text{gdy } X_n<3 \end{cases}}\)

Oblicz \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\mathbf{E}(Y_nY_{n-1})}\).

Napisałem programik w Pascalu, który na podstawie \(\displaystyle{ Y_{n-1}}\) i pseudolosowych \(\displaystyle{ X}\) generuje \(\displaystyle{ Y_n}\) i zlicza \(\displaystyle{ Y_nY_{n-1}}\).
Wykonałem \(\displaystyle{ 10^6}\), \(\displaystyle{ 10^7}\), \(\displaystyle{ 10^8}\) i \(\displaystyle{ 10^9}\) iteracji i wygląda na to, że granica \(\displaystyle{ \textbf{E}(Y_nY_{n-1})}\) jest równa ok. \(\displaystyle{ 1,5834}\). Oczywiście przy założeniu, że funkcja Random zwraca wartości „przyzwoitego” generatora liczb pseudolosowych. Natomiast nie mam pojęcia, jak to wyznaczyć teoretycznie.

A właśnie o teoretyczne rozwiązanie mi chodzi.

Medea 2 zrobiła swój program w Pythonie i jej wyszła ta granica jako \(\displaystyle{ {\white{.}}\frac{19}{12}=1,583(3)}\).

Edit: 2015-11-11 23:55
Dowiedziałem się, że Medea 2 myśli nad rozwiązaniem teoretycznym. Może coś z tego będzie.

Podaj rozkład następnego

Ja wiem ile ta granica wynosi, ale chciałbym dojść do tego wyniku przy użyciu co najwyżej kalkulatora naukowego.

wdsk90 pisze:Ja wiem ile ta granica wynosi (...)

Ile?

No i jak, mógłby ktoś zaprezentować rozwiązanie? Jakiś czas nad tym myślałem, ale niestety nie wymyśliłem (w sumie niedziwne, ja niewiele potrafię wymyślić).-- 1 gru 2015, o 18:40 --Tak, wiem, gotowca nie będzie, książka do łapki i jadę.

Jak się zacznie rozpisywać to powinno wyjść.

Wyznaczamy rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y_n Y_{n-1}.}\) Może ona przyjmować jedynie wartości \(\displaystyle{ 0,1,2,3,4,6,9.}\)

\(\displaystyle{ P(Y_n Y_{n-1}=0)=P(Y_n=0 \vee Y_{n-1}=0)=P(Y_n=0)+P(Y_{n-1}=0)-}\)
\(\displaystyle{ P(Y_n=0, Y_{n-1}=0)=P(Y_n=0)+P(Y_{n-1}=0)-P(X_n<3)P(Y_{n-1}=0)=P(Y_n=0)+\frac{1}{4}P(Y_{n-1}=0)}\)

\(\displaystyle{ P(Y_n Y_{n-1}=1)=P(Y_n=1, Y_{n-1}=1)=P(3>X_n>0)P(Y_{n-1}=1)=\frac{1}{2}P(Y_{n-1}=1)}\)

\(\displaystyle{ P(Y_n Y_{n-1}=2)=P(Y_n=2, Y_{n-1}=1)+P(Y_n=1, Y_{n-1}=2)=0+}\)
\(\displaystyle{ P(X_n=1)P(Y_{n-1}=2)=\frac{1}{4}P(Y_{n-1}=2)}\)

\(\displaystyle{ P(Y_n Y_{n-1}=3)=P(Y_n=3, Y_{n-1}=1)+P(Y_n=1, Y_{n-1}=3)=}\)
\(\displaystyle{ P(X_n=3)P(Y_{n-1}=1)+P(X_n=1)P(X_{n-1}=3)=\frac{1}{4}P(Y_{n-1}=1)+\frac{1}{16}}\)

\(\displaystyle{ P(Y_n Y_{n-1}=4)=P(Y_n=2, Y_{n-1}=2)=P(X_n=2)P(Y_{n-1}=2)=\frac{1}{4}P(Y_{n-1}=2)}\)

\(\displaystyle{ P(Y_n Y_{n-1}=6)=P(Y_n=3, Y_{n-1}=2)+P(Y_n=2, Y_{n-1}=3)=}\)
\(\displaystyle{ P(X_n=3)P(Y_{n-1}=2)+P(X_n=2)P(X_{n-1}=3)=\frac{1}{4}P(Y_{n-1}=2)+\frac{1}{16}}\)

\(\displaystyle{ P(Y_n Y_{n-1}=9)=P(Y_n=3)P(Y_{n-1}=3)=\frac{1}{16}.}\)

Wartość oczekiwana wynosi

\(\displaystyle{ \mathbb{E} (Y_n Y_{n-1})=3P(Y_{n-1}=2)+\frac{5}{4}P(Y_{n-1}=1)+\frac{9}{8}.}\)

Teraz wystarczy policzyć odpowiednie granice.

\(\displaystyle{ d_n=P(Y_n=3)=\frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ c_n=P(Y_n=2)=P(X_n=2, Y_{n-1}>1)=\frac{1}{4}(P(Y_{n-1}=1)+\frac{1}{4})=}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}P(Y_{n-1}=2)+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}c_{n-1}+\frac{1}{16}}\)

\(\displaystyle{ b_n=P(Y_n=1)}\)

\(\displaystyle{ a_n=P(Y_n=0)=P(X_n=0)+P(3>X_n>0)P(Y_{n-1}=0)=}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}P(Y_{n-1}=0)+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}a_{n-1}+\frac{1}{4}}\)

Można pokazać, że ciągi \(\displaystyle{ (a_n)}\) i \(\displaystyle{ (c_n)}\) są rosnące i ograniczone. Przechodząc do granicy w ich równaniach rekurencyjnych dostajemy \(\displaystyle{ \lim a_n=\frac{1}{2}, \lim c_n=\frac{1}{12}.}\) Wiemy też, że \(\displaystyle{ 1=a_n+b_n+c_n+d_n,}\) zatem \(\displaystyle{ \lim b_n=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{12}-\frac{1}{4}=\frac{1}{6}.}\)

Ostatecznie wyliczamy \(\displaystyle{ \lim \mathbb{E} (Y_n Y_{n-1})=3\cdot \frac{1}{12} +\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{6} +\frac{9}{8}=\frac{19}{12}.}\)

PS: Czy to zadanie z egzaminów aktuarialnych? Bo podobne wizualnie znalazłem zadanie 9.