Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{e^\frac{in\pi}{ 2} }{n^2}}\)

Jak postępować z takim szeregiem ?

Ze wzoru Eulera skorzystaj

Wychodzi że jest zbieżny bezwzględnie.

Teraz mamy taki szereg, kolejny:

\(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{e^\frac{i\pi}{ n} }{n}}\)

Wartość bezwzględna z tego szeregu jest rozbieżna, więc pozostaje nam policzyć czy ten szereg jest rozbiezny lub zbieżny warunkowo. Problem z tym że nie wiem jak postępować, z czego dokładnie skorzystać?

Mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } e^{ \frac{i\pi}{n} }=1}\), więc zbieżność wydaje się dość wątpliwa, więc ja bym postulował rozbieżność tego czegoś, a najlepiej to znów rozpisać z Eulera, po czym badać część rzeczywista i urojoną, a następnie zauważyć nierówność \(\displaystyle{ \cos x \ge 1-x}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\).

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n=\frac{\cos \pi n}{n} =0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } b_n=\frac{i\sin \pi n}{n}=0}\)

Więc mamy dwa przypadki, w których granice zbiegają do zera co wskazuje na to że szereg jest zbieżny, ale coś tu nie pasuje. Gdzie popełniam błędy ?


Edit: Błąd w zapisie licznika wyrazu ogólnego

Sprawdzasz warunek konieczny zbieżności, ale on nie jest warunkiem dostatecznym.

Żeby pokazać, że szereg ten nie jest zbieżny, możesz np. pokazać, że szereg części rzeczywistych, tj.
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{\cos \frac{\pi}{n} }{n}}\) jest rozbieżny, a to można uzyskać z kryterium porównawczego i nierówności, o której poprzednio pisałem.