Matematyka.pl

Podać przykład nieciągłej funkcji \(\displaystyle{ f:\RR^{2}\rightarrow \RR}\), dla której "cięcie \(\displaystyle{ f(\cdot,y)}\) jest ciągłe dla wszelkich \(\displaystyle{ y\in \RR}\). Wykazać, że jeśli funkcja \(\displaystyle{ f:\RR^{2}\rightarrow \RR}\)jest ciągła "cięcia \(\displaystyle{ f(\cdot,y)}\) i \(\displaystyle{ f(x,\cdot)}\) są ciągłe dla wszelkich \(\displaystyle{ x,y\in \RR.}\)

może bo być \(\displaystyle{ f \colon \mathbb{R}^2 \ni (x,y) \mapsto [x]\cdot y\in \mathbb{R}}\)
co do drugiej części : to przepisanie definicji ciągłości tej funkcji z ustaleniem punktu x(w pierwszym cięciu), a następnie punktu y(w tym drugim cięciu). Ogólnie wynika to z tego że \(\displaystyle{ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ \textrm{zachodzi costam } (x_0,y) \textrm{ zachodzi costam}}\)