Matematyka.pl

Hej Mam do Was ogromną prośbę. Przerabiamy teraz na ekonomii matematycznej relacje równoważności i mniej więcej rozumiem o co tutaj chodzi, ale nadal niektóre kwestie sprawiają mi kłopot Podam teraz niektóre przykłady i pytania do nich..

a) \(\displaystyle{ p \subset C ^{2} \wedge xRy \Leftrightarrow |x|+|y|=3}\)

tutaj chodzi mi o symetryczność.. czy tutaj chodzi o to, że jak podłożę jakąkolwiek parę liczb to zawsze będzie ten sam wynik ? np. \(\displaystyle{ (x=1, y=2)}\) lub \(\displaystyle{ (x=3, y=4)}\) ? Czy ta \(\displaystyle{ 3}\) ma znaczenie w tej symetryczności ? bo podkładając pierwszą parę liczb to suma da mi \(\displaystyle{ 3}\) ale jak podłożę drugą parę to wynik będzie równy \(\displaystyle{ 7}\)..

b) \(\displaystyle{ p \subset C ^{2} \wedge xRy \Leftrightarrow |x|+|y|\neq3}\)

tutaj problem sprawia mi zwrotność.. w odpowiedziach mam, że relacja nie jest przechodnia, ale znowu.. np. \(\displaystyle{ (x=2, y=4, z=6)}\) się zgadza.. \(\displaystyle{ |2|+|4|\neq3 \Rightarrow |4|+|6|\neq3 \Leftrightarrow |2|+|6|\neq3}\) ale dla pary \(\displaystyle{ (x=1, y=2, z=3)}\) już nie.. \(\displaystyle{ |1|+|2|=3 \Rightarrow |2|+|3|\neq3 \Leftrightarrow |1|+|3|\neq3}\) a w odpowiedziach mam, że nie jest przechodnia..

Wiem, że dla Was mogą to być głupie i banalne sprawy, ale ja naprawdę nie rozumiem tego.. Potrzebuję kogoś kto wytłumaczy mi to jak typowemu burakowi.. Wiem, że korzysta się też tutaj ze zdań logicznych (?), ale niestety logiki nie miałam.. przeglądałam przykładowe zadania na Internecie, ale nie rozwiało to moich wątpliwości..

Za każdą wskazówkę będę ogromnie wdzięczna

Zajmijmy się najpierw a).

Lola_1993 pisze: \(\displaystyle{ p \subset C ^{2} \wedge xRy \Leftrightarrow |x|+|y|=3}\)

Jak się ma \(\displaystyle{ p}\) do czegokolwiek? Prawdopodobnie chciałaś napisać \(\displaystyle{ R \subset \mathbb{Z}^2}\). Liczby całkowite oznacza się standardowo \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\), aczkolwiek mogę przeboleć to szkolne \(\displaystyle{ C}\).

Lola_1993 pisze: tutaj chodzi mi o zwrotność.. czy tutaj chodzi o to, że jak podłożę jakąkolwiek parę liczb to zawsze będzie ten sam wynik ? np. \(\displaystyle{ (x=1, y=2) lub (x=3, y=4)}\) ?

Nie, warunek zwrotności mówi w tym wypadku : \(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{Z} \ x R x}\). I teraz masz skorzystać z definicji relacji \(\displaystyle{ R}\).

Lola_1993 pisze: Czy ta 3 ma znaczenie w tej symetryczności ? bo podkładając pierwszą parę liczb to suma da mi 3 ale jak podłożę drugą parę to wynik będzie równy 7..

\(\displaystyle{ 3}\) ma niewielkie znaczenie, ale widać, że kompletnie nie rozumiesz o co chodzi. Zapisz tu warunek symetrii.

Dualny91 pisze: Nie, warunek zwrotności mówi w tym wypadku : \(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{Z} \ x R x}\). I teraz masz skorzystać z definicji relacji \(\displaystyle{ R}\)

Chodziło mi o symetryczność, mój błąd Ze zwrotnością nie mam problemów
\(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{Z}\ xRy \Leftrightarrow yRx}\)

Lola_1993 pisze: \(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{Z}\ xRy \Leftrightarrow yRx}\)

Ok, to teraz przepisz to w języku relacji \(\displaystyle{ R}\).

Lola_1993 pisze:Chodziło mi o symetryczność, mój błąd Ze zwrotnością nie mam problemów
\(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{Z}\ xRy \Leftrightarrow yRx}\)

Wystarczy \(\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{Z}\ xRy \red\Rightarrow\black yRx}\).

JK

Owszem. Jak się mają do siebie lewe strony obu równości i jaki stąd wniosek?

Są równe.. czyli relacja jest symetryczna, bo dodawanie jest przemienne ?

Zgadza się

Dziękuję bardzo a mogłabym też prosić o jakieś wskazówki odnośnie tej drugiej relacji ?

b)

weź

\(\displaystyle{ x=1}\)

\(\displaystyle{ y=4}\)

\(\displaystyle{ z=2}\)

\(\displaystyle{ |1|+|4| \neq |3| \wedge |4|+|2| \neq 3 \Rightarrow |1|+|2|=3}\)
no nie zgadza się.. czyli jak udowodnię, że są takie pary liczb, które to zaprzeczają tzn., że nie jest przechodnia ? czy jakoś inaczej się na to patrzy ?

czyli jak udowodnię, że są takie pary liczb, które to zaprzeczają tzn., że nie jest przechodnia ?

owszem

Bycie relacją przechodnią jest własnością ogólną: mówimy, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y,z\in \ZZ}\), dla których \(\displaystyle{ xRy}\) i \(\displaystyle{ yRz}\), zachodzi także \(\displaystyle{ xRz}\). Skoro więc chcemy pokazać, że to nieprawda, to musimy pokazać, że istnieją takie, że \(\displaystyle{ x,y,z\in \ZZ}\), dla których \(\displaystyle{ xRy}\) i \(\displaystyle{ yRz}\), ale nieprawda, że \(\displaystyle{ xRz}\). I takie \(\displaystyle{ x,y,z}\) właśnie wskazałaś.

JK

Oj chyba nie to wskazała.