Matematyka.pl

Witam,

mam do wykonania projekt z wytrzymałości materiałów, jednak nie mam zielonego pojęcia jak się za niego zabrać.

Treść zadania:

1. Dla kratownicy statycznie wyznaczalnej przedstawionej na rysunku obliczyć reakcje podporowe i wyznaczyć metodą równoważenia węzłów siły w prętach wywołane zadanym obciążeniem.
2. Zaprojektować przekrój pręta rozciąganego przyjmując wytrzymałość obliczeniową \(\displaystyle{ f_a = 120\text{MPa}}\)

Obrazek:


wiem, ze powinienem zacząć od ponumerowania węzłów i prętów. No i od wyznaczenia prętów zerowych. I mam pierwsze jajo - powiedziałbym, że zerowe będą te trzy wystające po lewej stronie kratownicy. Tylko niestety nie umiem tego poprzeć żadnym sensownym twierdzeniem. Czy możecie mi coś podpowiedzieć? Czy jeszcze jakieś pręty będą zerowe?

Podporę nieprzesuwną nazwałem sobie \(\displaystyle{ a}\) (działa na nią siła pionowa ze zwrotem w górę \(\displaystyle{ V_a}\) oraz pozioma, skierowana w prawo \(\displaystyle{ H_a}\)), a przesuwną \(\displaystyle{ b}\) (działa na nią siła pionowa w górę \(\displaystyle{ R_b}\))

Czy w związku z powyższym prawidłowym jest określenie zwrotów osi układu współrzędnych \(\displaystyle{ x}\) w prawo oraz \(\displaystyle{ y}\) w dół? Jaki byłby wpływ zmiany orientacji układu współrzędnych na zwroty sił \(\displaystyle{ V_a, H_a}\) oraz \(\displaystyle{ R_b}\)?

\(\displaystyle{ \sin 45^{\circ} = \frac{ \sqrt{2} }{2} = \cos 45^{\circ}}\)

wiem, że siłę \(\displaystyle{ 8 \text{kN}}\) powinienem rozbić jakoś za pomocą funkcji trygonometrycznych...tylko jak?

czy ktoś z Użytkowników byłby tak miły i przeprowadził mnie za rękę przez to zadanie od zera do końca (co z czego, jak i dlaczego?)? Jestem totalnie zielony w temacie, będę wdzięczny za jakąkolwiek pomoc.

Oblicz sobie na początku reakcje w podporach, o zwrot sił się nie bój, jak wyjdzie siła na minusie to będzie znaczyło, że odwrotnie przyjęliśmy zwrot, potem można poprawić zwrot i wartość siły napisać na plusie. Musisz sobie zrzutować siłę \(\displaystyle{ 8kN}\) na kierunek \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\). Kąt między prętami będzie równy \(\displaystyle{ 45^{\circ}}\) prócz tych najbardziej na lewo. Co do prętów zerowych to same wyjdą przy rozpatrywaniu poszczególnych węzłów.

Dzięki!

Czyli z użyciem funkcji trygonometrycznych robić \(\displaystyle{ 8 \text{kN}}\) na 'składowe' pionowe i poziome i tak ją dalej traktować - jak dwie siły, jedną pionową ze zwrotem w górę i drugą poziomą ze zwrotem w lewo? Czy coś pokręciłem?

Czy będzie to mniej więcej tak?

- link do skanu z oznaczeniami tych \(\displaystyle{ V_a, H_a}\) i \(\displaystyle{ R_b}\)

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} x=0=Ha-12\text{kN}-}\) pozioma składowa \(\displaystyle{ 8 \text{kN}}\)

czyli

\(\displaystyle{ Ha=12kN+8kN \cdot cos45^o

Ha=12+8 \cdot 0,707

Ha=17,656kN}\)

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} y=0=8kN-Va-Rb-}\)składowa pionowa \(\displaystyle{ 8kN}\)

\(\displaystyle{ V_a+R_b=8 \text{kN}-8\text{kN} \cdot \sin 45^{\circ}\\
V_a+R_b=8-4 \sqrt{2}\\
V_a+R_b=2,343 \text{kN}}\)

Tu mam pierwsze pytanie - czy na pewno dobrze je rozbiłem? poziomą składową liczę z cosinusa, a pionową z sinusa w tym przypadku? Przyznam szczerze, że nie wiem czemu i strzeliłem - czy mogę prosić o wyjaśnienie dlaczego tak, a nie inaczej? :/

i suma momentów dla podpory przesuwnej \(\displaystyle{ b}\)

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} M_b=0=-R_b-12 \text{kN} \cdot 4+8 \text{kN} \cdot 12-12 \cdot V_a-12 \cdot H_a-8 \text{kN} \cdot \cos45^{\circ} \cdot 8-8\text{kN}\cdot \cos45^{\circ} \cdot 8}\)

bo: przyjąłem układ współrzędnych \(\displaystyle{ y}\) skierowane w dół i \(\displaystyle{ x}\) skierowane w prawo,

\(\displaystyle{ -12 \text{Kn} \cdot 4}\) - bo te \(\displaystyle{ 12\text{kN}}\) jest oddalone o \(\displaystyle{ 4}\) metry od podpory \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ 12 \text{kN}}\) skierowane przeciwnie do założonego kierunku układu współrzędnych,

\(\displaystyle{ +8\text{kN} \cdot 12}\) - bo ta siła \(\displaystyle{ 8 \text{kN}}\) skierowana pionowo w dół jest oddalona o \(\displaystyle{ 12 \text{m}}\) od podpory \(\displaystyle{ b}\) i skierowana zgodnie z założonym układem współrzędnych,

\(\displaystyle{ -12 \cdot V_a}\), bo \(\displaystyle{ V_a}\) oddalona o \(\displaystyle{ 12 \text{m}}\) do podpory \(\displaystyle{ b}\) i skierowana przeciwnie do układu współrzędnych

\(\displaystyle{ -12 \cdot H_a}\) - jak poprzednio

\(\displaystyle{ -8 \text{kN} \cdot \cos 45^{\circ} \cdot 8\text{m}-8\text{kN} \cdot \cos45^{\circ} \cdot 8\text{m}}\) - siła pod kątem rozbita na składowe

Czy mam liczyć to tylko jako dwuwymiar? Nie obchodzi mnie, o ile w pionie od podpory \(\displaystyle{ b}\) jest oddalona siła \(\displaystyle{ 8\text{kN}}\) pionowa albo siły \(\displaystyle{ H_a}\) i \(\displaystyle{ V_a}\)?

ed: - zapomniałem dodać, ze zabieram się do liczenia metodą równoważenia węzłów. Niby jest napisane w poleceniu, ale wolę uściślić

Mam jeszcze pytanie co do 'kręcenia' momentu - o co w tym chodzi i co z tego wynika? Słyszałem, ze to wpływa na coś, ale nie do końca kumam na co :/

Sumę sił na x i y masz ok. Jak rozbijasz siłę na składowe to na kierunku x będzie \(\displaystyle{ \frac{x}{8}=\cos45^{\circ}}\), \(\displaystyle{ x=8\cdot \cos45^{\circ}}\), dlatego, że zawsze jak chcesz rzutować siłę na dany kierunek to szukasz sobie trójkąta prostokątnego. Co do sum momentów to masz źle na samym początku, jak liczysz moment względem punktu B to siła \(\displaystyle{ R_{b}/tex] ma zerowe ramię, czyli będzie dawała moment zerowy. Taka uwaga, że lepiej sobie policzyć moment względem punktu w którym jest najwięcej sił przyłożonych, czyli tam gdzie jest podpora nie przesuwna. Wtedy z takiego równania od razu będzie można sobie wyliczyć reakcję \(\displaystyle{ R_{b}}\), ponieważ tylko ona będzie niewiadomą w tym równaniu. Co o "kręcenia" momentu to też sobie przyjmujesz jak ci wygodniej, czy na "-" będzie kręcić zgodnie z ruchem wskazówek zegara czy odwrotnie, tylko musisz być konsekwentny w tym co przyjąłeś w dalszych obliczeniach.}\)

348390.htm?hilit=%20kratownica
.......................................................
Pręty zerowe- ułatwienie w rozw.
1.Jeżeli w węźle schodzą się dwa pręty nie leżące na jednej prostej zaś siła obciążająca węzeł ma kierunek równoległy do jednego z nich, to wartość siły w pozostałym pręcie wynosi zero- 0
2.Jeżeli w węźle schodzą się dwa pręty nie leżące na jednej prostej, a węzeł jest nie obciążony, to wartości sił w prętach są równe zero(0).
3. Jeżeli w nieobciążonym węźle schodzą się trzy pręty, z których dwa leżą na jednej prostej, to wartość siły w pozostałym wynosi zero(0) .

Serdecznie dziękuję za podpowiedzi. Udało mi się nareszcie rozwiązać siły w podporach:

\(\displaystyle{ H_{a}=17,6569kN}\)
\(\displaystyle{ V_{a}+ R{b}=2,3431kN}\)
\(\displaystyle{ R_{b}=-11,7712kN}\)
\(\displaystyle{ V_{a}=14,1134}\)

Podstawiając to do bilansu (policzyłem momenty) wyszło mi, że:

\(\displaystyle{ 0=0,0012}\)

Wrzuciłem równanie bilansu do excela bez zaokrągleń i wyszło 0=0, więc odtrąbiłem sukces.

No i teraz mam schody...



Po pierwsze, przy okazji:
czy powinienem zmienić zwrot \(\displaystyle{ R_{b}}\), żeby wartość siły była dodatnia? Czy zwrot sił w podporach jest ściśle określony i nie mogę sobie nimi manipulować?

Po drugie, głównie:
Nie jestem w stanie ocenić od którego węzła powinienem zacząć, żeby go fajnie zrównoważyć Próbowałem przyjąć, ze siły ściskają mi węzeł \(\displaystyle{ A}\). No i mam siłę \(\displaystyle{ V_{a}}\), która atakuje go od dołu, więc siła z pręta \(\displaystyle{ E-A}\) musi mieć wartość \(\displaystyle{ -14,1143kN}\) jako wartość równą \(\displaystyle{ -V_{a}}\). Jak jednak zrównoważyć w tym przypadku siłę \(\displaystyle{ H_{a}}\)?

W zasadzie w tym miejscu kończą się moje pomysły co do dalszej kolejności liczenia węzłów - nie widzę gdzie mam jakieś znane wartości. Czy widzicie miejsca, które mogę policzyć w najbliższej kolejności?

Potrzebne niezbędne wiadomości i umiejętności rozwiązywania kratownic płaskich oparte m.innymi na rozw. dowolnego płaskiego układu sił metodą analityczna i wykreślną/;
- ciało nieswobodne, więzy i ich sposoby schematycznego oznaczania,
- reakcje więzów,
- pojęcie rzutu siły na oś,
- moment siły wzgl. punktu(bieguna),
- wielobok sił,
-wielobok sznurowy,
- metoda wykreślna określanie reakcji więzów w dowolnym układzie płaskim
- metody rozw. kratownic.
_______________________________________________________________
I.Obliczenie reakcji.
Uwalniamy kratownicę od więzów, wprowadzając w ich miejsce reakcje. Obliczamy wartość reakcji metodą analityczną lub wykreślną( kratownica na rys. w skali sił i długości-wielobok sznurowy- skrajne boki...).
Obliczanie reakcji metodą analityczną;
Wypisujemy trzy warunki równowagi dla dowolnego płaskiego układu sił( krata płaska!).
(1)\(\displaystyle{ \Sigma F _{x}=0}\)...............,
(2)\(\displaystyle{ \Sigma F _{y}=0.}\)..............,
(3)\(\displaystyle{ \Sigma M _{B}=0}\).
/Jężel wartośc reakcji z równań wyjdzie nam ujemna, zmieniamy zwrot siły na rysunku. Do dalszych rozważań przyjmuje się dodatnią wartość !./
___________________________________________________________
II. Obliczenie sił w prętach kratownicy-wybrane metody
Wybieramy metodę rozw. kratownicy płaskiej np. te najbardziej znane;
- metoda wydzielania węzłow,
- metoda Cremony,
- metoda Rittera
- metoda Culmana
***********************************************
Metoda równoważenia(wydzielania) węzłów:
-ponumeruj prety (cyfry arabskie:1-11)
-ponumeruj węzły(cyfry rzymskie;I-VII)
-sprawdź rozwiązywalność kraty(p=2w-3)
p-liczba prętów, w - liczba węzłow
- rozpatrujemy równowagę każdego węzła osobno
Najlepiej rozpocznij od węzła gdzie zbiegają się dwa pręty!.
*******************************************************
Metoda analityczna(Rittera):
- rozpoczynamy obliczanie od węzła, w którym zbiegają się dwa pręty(układ sił zbieżnych-dwa analityczne warunki równowagi),
- zakładamy, że nieznane siły w prętach są rozciągane- "zwroty rys. od węzła",
- wypisujemy warunki równowagi dla zbieżnego układu sił
**************************************************
Metoda wykreślna- Cremony:
Po znalezieniu wykreślnie reakcji,rysujemy zamknięte wieloboki sił. Rozpoczynamy od danej siły, następnie przez początek i koniec rysujemy kierunki sił szukanych. Zwroty szukanych sił zaznaczamy tak, aby strzałki tworzyły zamknięty obieg " goniły się" .
Przechodzimy do następnych węzłów w takiej kolejności, aby liczba nieznanych sił w wybranym węźle nie przekraczała dwóch.
***************************************************
Uwaga.
- jeżeli odpowiednia wartość siły z równań równowagi wypadnie ujemna, to pręt w rzeczywistości jest ściskany,
- jeżeli odpowiednia wartość siły w pręcie z równań równowagi jest równa zero- to taki pręt jest prętem zerowym(pręty zerowe).

Dzień dobry. Podepnę się pod ten post ,gdyż mam takie same zadanie(chociaż inna kratownica) , z tym że jeśli zrobiłem punkt pierwszy, to nie mam pojęcia jak zrobić punkt drugi. Bardzo bym prosił o pomoc. Pozdrawiam .-- 7 lis 2016, o 09:37 --Nikt nie wie?

Dokładnie, czy ktoś mógłby pomóc co do punktu drugiego ? Tylko wskazać drogę albo podać tytuł książki gidze będzie to wyjaśnione, siedzę nad tym już dłuższy czas i nie mogę tego rozgryźć.

Co dokładnie?

Rozwiązanie wykreślne, planem sił Cremony

352886.htm#p5178813

Dokładnie chodzi o podpunkt 2. Zaprojektować przekrój pręta rozciąganego przyjmując wytrzymałość obliczeniową \(\displaystyle{ F _{d}=120MPa}\).
Mamy podany wzór \(\displaystyle{ \partial = \frac{P}{A} \le F _{d}}\). Przyjmijmy że mój pręt rozciągany ma max siłę rozciągania \(\displaystyle{ 16.49 kN}\). Przekształcamy wzór \(\displaystyle{ A \ge \frac{P}{F _{d} }}\) i liczymy
\(\displaystyle{ A \ge \frac{16.49 kN}{120 Mpa}}\)
\(\displaystyle{ A \ge \frac{16490 N}{120 000 000 Pa}}\)
\(\displaystyle{ A \ge 1.3742 x 10 ^{-4} m^{2}}\)
\(\displaystyle{ A \ge 1.3742 cm ^{2}}\)
Następnie powinienem w tablicach inżynierskich sprawdzić jak duży dwuteownik wybrać (dwuteownik przyjąłem sam - mieliśmy wybór) ale... wartość jest trochę za niska bo tablice zaczynają się od \(\displaystyle{ 7,5 cm ^{2}}\) więc gdzie robię błąd ? Prosiłbym o pomoc.
Z samym obliczaniem kratownic na razie nie mam problemu ale dziękuję za pomoc
--
Rozumiem, że \(\displaystyle{ 1.3742 cm ^{2} \le {7,5 cm ^{2}}\) i mogę przyjąć każdą wartość z tablic ale wynik wydaje się zły, zaskakująco niski. Pierwszy raz robię zadanie tego typu i nie jestem po prostu pewien a ponadto jestem narażony na głupie błędy .

W konkretnej konstrukcji prętowej większość prętów rozciąganych jest znacznie lub bardzo znacznie przewymiarowana, co jest spowodowane tym, że w konstrukcji kratownicy nie mogą być zastosowane pręty o znacznie różniących się wymiarach i kształtach przekrojów poprzecznych ze względu na konstrukcję połączeń prętów w węzłach (wymóg technologiczny i konstrukcyjny), ze względów ekonomicznych, różnorodność asortymentu, która pociąga za sobą koszty składowania, zakupu, itp.
Zatem na pręty mało obciążone, w tym zerowe, wybiera się najmniejsze z możliwych cienkich do zastosowania nie w węźle, ale w całej konstrukcji, np. nie więcej niż 3, 4 rodzaje profili dla większych ustrojów.
Ale to powinno być studentowi wiadome z wykładów, polecanych książek, i bywania na zajęciach jeżeli wykładowca o tym nie zapomniał powiedzieć.

W.Kr.

Zagadnienie:
Dobrać kształtownik czyli określić jego "bezpieczne" wymiary.
"Wymiarowanie" w wytrzymałości opiera się na warunkach wytrzymałościowych.
................................................................
Siła osiowa \(\displaystyle{ F}\) powoduje występowanie naprężeń rozc. w pręcie kratownicy.
Korzystamy z warunku wytrz. na rozciąganie:
Naprężenia rozc. rzeczywiste- \(\displaystyle{ \sigma _{r}}\) muszą być mniejsze bądź równe naprężeniom dopuszczalnym- \(\displaystyle{ k _{r}=f _{d}}\) .:
\(\displaystyle{ \sigma _{r} \le k _{r}}\), (1)-
rozpisując otrzymamy.:
\(\displaystyle{ \sigma _{r}= \frac{F}{A} \le k _{r}}\)
Poszukiwany wymiar kryje się pod polem przekroju \(\displaystyle{ A}\):
\(\displaystyle{ A \ge \frac{F}{k _{r} }}\)
/Naprężenia dopuszczalne to naprężenia, które panują w konstrukcji bez obawy o jej zniszczenie- trwałe odkształcenie. Dobieramy je z tablic dla wybranego materiału z którego wykonany będzie el. konstrukcyjny/
Dobór kształtownika:
W oparciu o normy wyrobów hutniczych. Wyciągi z norm w tablicach wytrz, poradniku Mechanika, Mały poradnik mech.- tam kolumna z polem przekroju, ciężar 1mb, szczegółowe wymiary wraz ze sposobem oznaczania na rys.Pamiętać należy o wymogu oszczędności materiałów(koszty)- kryt. ekonomiczne.
...........................................................................
Dużo niepoprawnych obl. przez nieumiejętność przeliczania jednostek .

Podaję wzory wielkościowe i liczbowe

Wariant 1- pod kątem wykorzyst. tablic wytrz.
\(\displaystyle{ \sigma _{MPa}= \frac{10 \cdot F _{[kN]} }{A _{[cm ^{2}] } } \le k_{r} _{[MPa]}}\)
\(\displaystyle{ A _{[cm ^{2}] } \ge \frac{10F _{[kN]} }{k _{r} _{[MPa]} }}\)
..................................................
Wariant 2- przydatny do wymiarowania rys.
\(\displaystyle{ \sigma _{MPa}= \frac{ F _{[N]} }{A _{[mm ^{2}] } } \le k_{r} _{[MPa]}}\)
\(\displaystyle{ A _{[mm ^{2}] } \ge \frac{F _{[N]} }{k _{r} _{[MPa]} }}\)
..................................
Wariant 3- zgodność z układem SI / wadą kłopotliwe przeliczanie/
\(\displaystyle{ \sigma _{[Pa]}= \frac{ F _{[N]} }{A _{[m ^{2}] } } \le k_{r} _{[Pa]}}\)
\(\displaystyle{ A _{[m ^{2}] } \ge \frac{F _{[N]} }{k _{r} _{[Pa]} }}\)
......................................................................................................
Powodzenia.