Matematyka.pl

Witajcie. Mam problem z udowodnieniem takich dwóch wzorów:
1. \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{p} ({n\choose k} \cdot {n-k\choose p-k}) = 2 ^{p} \cdot {n\choose p}}\)

2. \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} [{n\choose k} \cdot k \cdot a ^{k} \cdot b ^{n-k}] = n \cdot a \cdot (a+b) ^{n-1}}\)

Oba twierdzenia próbowałem udowodnić z indukcji, ale nie udało mi się :/. Szczerze powiedziawszy nie jestem stuprocentowo pewny, czy oba najszybciej da się pokazać z indukcji.

2) podziel obie strony przez \(\displaystyle{ n}\)

Pierwszy powinien jakoś łatwo iść przez interpretację kombinatoryczną, np.:
bóstwo wojny żąda ofiary z dokładnie \(\displaystyle{ p}\) pojmanych wojowników wroga. Masz \(\displaystyle{ n}\) jeńców. Wybierasz \(\displaystyle{ p}\) spośród \(\displaystyle{ n}\) jeńców wojennych do złożenia w ofierze bogom, a dla każdego jeńca zdecydujesz, czy wydrzeć mu serce, czy obedrzeć go żywcem ze skóry. No to możesz do tego podejść tak: wybierasz od razu \(\displaystyle{ p}\) spośród \(\displaystyle{ n}\) jeńców jakkolwiek (możesz to uczynić na \(\displaystyle{ {n \choose p}}\) sposobów), a następnie dla każdego z nich decydujesz, czy odpowiedniejszym dlań losem będzie obdarcie ze skóry, czy wyrwanie serca (na \(\displaystyle{ 2^{p}}\) sposobów).
Albo możesz też przyjąć taką metodę: możesz wybrać \(\displaystyle{ k}\) z \(\displaystyle{ n}\) jeńców, którym wyrwiesz serca (dla \(\displaystyle{ k=0...p}\)), a spośród pozostałych \(\displaystyle{ n-k}\) dobrać "brakujących" \(\displaystyle{ p-k}\), których każesz żywcem obedrzeć ze skóry.
Pozdrawiam.-- 22 paź 2015, o 20:37 --Pomysł może drastyczny, bo mam kiepski humor, gdyż noga mnie boli, ale jak ktoś lubi to może to zastąpić zaproszeniem \(\displaystyle{ p}\) spośród \(\displaystyle{ n}\) znajomych na przyjęcie, przy czym każdego witać będziesz bądź to prawą, bądź lewą ręką (witam pana generała itd.).