Matematyka.pl

Jak formalnie wykazać , że zadana funkcja jest albo rosnąca, albo malejąca?

Dla przykładu proszę o pokazanie jak się to robi dla funkcji: \(\displaystyle{ f(x)= 3x-5}\)

?

Niech będzie:
\(\displaystyle{ x_{2}>x_{1}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ x_{2}-x_{1}>0}\)

I mamy:
\(\displaystyle{ f(x_{2})-f(x_{1})=3x_{2}-5-3x_{1}+5=3(x_{2}-x_{1})>0}\)
Funkcja rosnąca.

Można jeszcze zauważyć, że współczynnik kierunkowy równania prostej jest dodatni więc funkcja jest rosnąca.

Można też policzyć pochodną
Dziedzina - wszystkie liczby rzeczywiste
Pochodna: \(\displaystyle{ f'(x)=3}\)
Pochodna jest dodatnia dla całej dziedziny, zatem funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie

Jak sie liczy pochodną?

Silver, ale należało udowodnić monotoniczność z definicji...

luka52 Miałem policzyć formalnie. Nie pisał czy z definicji.

Pochodne są głównie w trzeciej klasie licealnej. Korzysta się z kilku wzorków.

Silver, a co jest napisane w temacie?

Oj chyba muszę założyć okularki ;]


Co od pochodnych: pochodne są głównie w trzeciej klasie licealnej. Korzysta się z kilku wzorków.

Jeśli masz dany wielomian np. ten z zadania \(\displaystyle{ f(x)= 3x-5}\)
to pochodna z funkcji przedstawia się:
\(\displaystyle{ f'(x)= (3x-5)'=(3x)'-(5)'=(3x^1)'-(5)'=3-0=3}\)
Skorzystałem z wzorów:
\(\displaystyle{ (f-g)'=f'-g'\\
(x^n)'=n*x^{n-1}\\
(c)'=0\ \ \ c-const. \\
(3x)'=(3x^1)'=1*3x^{1-1}=3x^0=3*1=3\\
(5)'=0}\)

Więcej wzorów i informacji znajdziesz
Na dole masz tabelkę z wzorami.

Patrz głównie to co ariadna napisała, bo ona zrobiła to z definicji.
Ja zrobiłem z pochodnych też tak można, ale jak miało być z definicji, to lepiej z definicji

Dzięki bardzo za pomoc.