Kilka pytań dotyczących liczb zespolonych
: 22 paź 2015, o 18:11
1) Sprowadzić do postaci algebraicznej następujące wyrażenie \(\displaystyle{ z = \frac{(1+i)^n}{(1-i)^{n-2}}}\)
\(\displaystyle{ z = \frac{(1+i)^n}{(1-i)^{n-2}} \cdot \frac{(1+i)^{n-2}}{(1+i)^{n-2}} = \frac{(1+i)^{2n -2}}{2^{n-2}} = \frac{(\sqrt{2})^{2n -2} \left[ \cos{\frac{\pi(2n-2)}{4}} + i \sin{\frac{\pi(2n-2)}{4}} \right] }{2^{n-2}} = 2 \left[ \cos{\frac{\pi(n-1)}{2}} + i \sin{\frac{\pi(n-1)}{2}} \right]}\)
To co otrzymałem nie pokrywa się z odpowiedzią. Gdzie zrobiłem błąd?
2) Polecenie jak wyżej.
\(\displaystyle{ z = (\sin{\alpha} + i \cos{\alpha})^n = \left[ \cos{\left( \frac{\pi}{2} - \alpha\right) + i \sin{\left( \frac{\pi}{2} - \alpha\right) }}\right]^n = \cos{\left( \frac{\pi - 2 \alpha}{2}n\right) }\right + i \sin{\left( \frac{\pi - 2 \alpha}{2}n \right)} \right]}\)
Nie wiem jak to sprowadzić do postaci dwumiennej.
\(\displaystyle{ z = \frac{(1+i)^n}{(1-i)^{n-2}} \cdot \frac{(1+i)^{n-2}}{(1+i)^{n-2}} = \frac{(1+i)^{2n -2}}{2^{n-2}} = \frac{(\sqrt{2})^{2n -2} \left[ \cos{\frac{\pi(2n-2)}{4}} + i \sin{\frac{\pi(2n-2)}{4}} \right] }{2^{n-2}} = 2 \left[ \cos{\frac{\pi(n-1)}{2}} + i \sin{\frac{\pi(n-1)}{2}} \right]}\)
To co otrzymałem nie pokrywa się z odpowiedzią. Gdzie zrobiłem błąd?
2) Polecenie jak wyżej.
\(\displaystyle{ z = (\sin{\alpha} + i \cos{\alpha})^n = \left[ \cos{\left( \frac{\pi}{2} - \alpha\right) + i \sin{\left( \frac{\pi}{2} - \alpha\right) }}\right]^n = \cos{\left( \frac{\pi - 2 \alpha}{2}n\right) }\right + i \sin{\left( \frac{\pi - 2 \alpha}{2}n \right)} \right]}\)
Nie wiem jak to sprowadzić do postaci dwumiennej.