Matematyka.pl

Mam problem z następującą całką nieoznaczoną.
Według WOLFRAM-a wynosi ona:
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-2}}dx=-\frac{\tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2}-2}}\right)}{\sqrt{2}}+C}\)
A mi wychodzi coś takiego:
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-2}}dx=\frac{1}{4}\ln\left| \frac{x^{2}-2}{x^{2}}\right|+C}\)
Gdzie popełniam błąd, i kto ma rację?
Proszę o pomoc.

Wolfram ma rację, a ty gdzieś robisz błąd. Nie wiem gdzie bo nie ma obliczeń.

smallares25 pisze:Mam problem z następującą całką nieoznaczoną.
Według WOLFRAM-a wynosi ona:
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-2}}dx=-\frac{\tan^{-1}\left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2}-2}}\right)}{\sqrt{2}}+C}\)
A mi wychodzi coś takiego:
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-2}}dx=\frac{1}{4}\ln\left| \frac{x^{2}-2}{x^{2}}\right|+C}\)
Gdzie popełniam błąd, i kto ma rację?
Proszę o pomoc.

Aby sprawdzić, kto ma rację polecam - jako cwiczenie - zrozniczkowac

Podstaw sobie za pierwiastek albo skorzystaj z pierwszego podstawienia Eulera

Aby sprawdzić, kto ma rację polecam - jako cwiczenie - zrozniczkowac

To dobry pomysł ale ciekawe skąd wziął mu się ten logarytm

\(\displaystyle{ \int\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-2}}dx\\
\sqrt{x^2-2}=t-x\\
x^2-2=t^2-2tx+x^2\\
-2=t^2-2tx\\
2tx=t^2+2\\
x=\frac{t^2+2}{2t}\\
t-x=\frac{2t^2-t^2-2}{2t}=\frac{t^2-2}{2t}\\
\mbox{d}x =\frac{2t \cdot 2t-2\left( t^2+2\right) }{4t^2} \mbox{d}t\\
\mbox{d}x =\frac{t^2-2}{2t^2} \mbox{d}t\\
\int{\frac{2t}{t^2+2} \cdot \frac{2t}{t^2-2} \cdot \frac{t^2-2}{2t^2} \mbox{d}t}\\
=2\int{ \frac{ \mbox{d}t}{t^2+2} }\\
=\int{\frac{ \mbox{d}t}{1+\left( \frac{t}{ \sqrt{2} } \right)^2 }}\\
= \sqrt{2}\int{\frac{ \frac{1}{ \sqrt{2} } \mbox{d}t}{1+\left( \frac{t}{ \sqrt{2} } \right)^2 }}\\
= \sqrt{2}\arctan{\left( \frac{x+ \sqrt{x^2-2} }{\sqrt{2}}\right) } +C\\}\)


A może to brak złamania linii kodu texa
poza tym \(\displaystyle{ x^2}\) się skróci

jak uzasadniasz równości w trzeciej linijce?